Question

2．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足tanB=$\frac{cos（C-B）}{sinA+sin（C-B）}$，
（1）判断△ABC的形状，并加以证明；
（2）当a=2，∠B=x时，将y=$\frac{b+c+1}{bc}$表示成y=f（x）的形式，并求此函数的定义域，当x为何值时，y=f（x）有最值？并求出最值．

Answer 1

分析 （1）切和弦共同存在的等式中，一般要切化弦，根据两外项之积等于两内项之积，把分式化为整式，移项，逆用两角和的余弦公式，把脚C化为A+B用两角和的余弦公式展开，合并同类项，得到两角余弦乘积为零，则两角中必有一个直角．
（2）由题意及（1）可得：A=$\frac{π}{2}$，由正弦定理可解得b=2sinx，c=2cosx，从而可得$y=\frac{b+c+1}{bc}=\frac{2（sinx+cosx）+1}{4sinxcosx}$，$（{0＜x＜\frac{π}{2}}）$．
设sinx+cosx=t，$y=\frac{2t+1}{{2{t^2}-2}}$，设u=2t+1，$t=\frac{u-1}{2}$，$y=\frac{2u}{{{u^2}-2u-3}}$=$\frac{2}{{u-\frac{3}{u}-2}}$，由x的范围，可求t，u的范围，利用基本不等式的解法即可得解．

解答 解：（1）△ABC是直角三角形．
证明：由已知得：$\frac{sinB}{cosB}$=$\frac{cos（C-B）}{sinA+sin（C-B）}$，
∴sinAsinB+sinBsin（C-B）=cosBcos（C-B），
移项，逆用两角和的余弦公式得：sinAsinB=cosC，
∵在△ABC中，cosC=-cos（A+B），
∴sinAsinB=-cos（A+B），
∴cosAcosB=0，
∴cosA=0或 cosB=0（舍去），
∴△ABC是直角三角形．
（2）∵当a=2，∠B=x时，由（1）可得：A=$\frac{π}{2}$，由正弦定理可得：2=$\frac{b}{sinx}$=$\frac{c}{sinC}$，sinC=cosx．
∴解得：b=2sinx，c=2cosx，
∴$y=\frac{b+c+1}{bc}=\frac{2（sinx+cosx）+1}{4sinxcosx}$，$（{0＜x＜\frac{π}{2}}）$．
设sinx+cosx=t，$y=\frac{2t+1}{{2{t^2}-2}}$，设u=2t+1，$t=\frac{u-1}{2}$，$y=\frac{2u}{{{u^2}-2u-3}}$=$\frac{2}{{u-\frac{3}{u}-2}}$，
∵$x∈（{0，\frac{π}{2}}）\;，t∈（{1，\sqrt{2}}]\;，u∈（{3\;，\;1+2\sqrt{2}}]$，当$u=1+2\sqrt{2}$时，${y_{min}}=\frac{{1+2\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦定理的应用，函数的定义域及其求法，不等式的解法及应用，考查了换元法和转化思想，属于难题．