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2.在△ABC中,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若满足tanB=$\frac{cos(C-B)}{sinA+sin(C-B)}$,
(1)判断△ABC的形状,并加以证明;
(2)当a=2,∠B=x时,将y=$\frac{b+c+1}{bc}$表示成y=f(x)的形式,并求此函数的定义域,当x为何值时,y=f(x)有最值?并求出最值.

分析 (1)切和弦共同存在的等式中,一般要切化弦,根据两外项之积等于两内项之积,把分式化为整式,移项,逆用两角和的余弦公式,把脚C化为A+B用两角和的余弦公式展开,合并同类项,得到两角余弦乘积为零,则两角中必有一个直角.
(2)由题意及(1)可得:A=$\frac{π}{2}$,由正弦定理可解得b=2sinx,c=2cosx,从而可得$y=\frac{b+c+1}{bc}=\frac{2(sinx+cosx)+1}{4sinxcosx}$,$({0<x<\frac{π}{2}})$.
设sinx+cosx=t,$y=\frac{2t+1}{{2{t^2}-2}}$,设u=2t+1,$t=\frac{u-1}{2}$,$y=\frac{2u}{{{u^2}-2u-3}}$=$\frac{2}{{u-\frac{3}{u}-2}}$,由x的范围,可求t,u的范围,利用基本不等式的解法即可得解.

解答 解:(1)△ABC是直角三角形.
证明:由已知得:$\frac{sinB}{cosB}$=$\frac{cos(C-B)}{sinA+sin(C-B)}$,
∴sinAsinB+sinBsin(C-B)=cosBcos(C-B),
移项,逆用两角和的余弦公式得:sinAsinB=cosC,
∵在△ABC中,cosC=-cos(A+B),
∴sinAsinB=-cos(A+B),
∴cosAcosB=0,
∴cosA=0或 cosB=0(舍去),
∴△ABC是直角三角形.
(2)∵当a=2,∠B=x时,由(1)可得:A=$\frac{π}{2}$,由正弦定理可得:2=$\frac{b}{sinx}$=$\frac{c}{sinC}$,sinC=cosx.
∴解得:b=2sinx,c=2cosx,
∴$y=\frac{b+c+1}{bc}=\frac{2(sinx+cosx)+1}{4sinxcosx}$,$({0<x<\frac{π}{2}})$.
设sinx+cosx=t,$y=\frac{2t+1}{{2{t^2}-2}}$,设u=2t+1,$t=\frac{u-1}{2}$,$y=\frac{2u}{{{u^2}-2u-3}}$=$\frac{2}{{u-\frac{3}{u}-2}}$,
∵$x∈({0,\frac{π}{2}})\;,t∈({1,\sqrt{2}}]\;,u∈({3\;,\;1+2\sqrt{2}}]$,当$u=1+2\sqrt{2}$时,${y_{min}}=\frac{{1+2\sqrt{2}}}{2}$.

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,正弦定理的应用,函数的定义域及其求法,不等式的解法及应用,考查了换元法和转化思想,属于难题.

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