Question

已知点A为双曲线x²-y²=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是

3

3

．

Answer 1

分析：先求出双曲线x²-y²=1的左顶点为A（-1，0），根据双曲线的对称性，设出B（x₁，y₁），C（x₁，-y₁）的坐标，根据，△ABC是等边三角形得：（x₁+1）²+y₁²=（-y₁-y₁）²，求出x₁和y₁的值，由此得出三个顶点的坐标，从而可以算出面积．

解答：解：双曲线x²-y²=1的左顶点为A（-1，0），根据双曲线的对称性，
可设B（x₁，y₁），C（x₁，-y₁）．
由△ABC是等边三角形⇒AB=BC，得：
（x₁+1）²+y₁²=（-y₁-y₁）²，
又x₁²-y₁²=1，
∴x₁²-x₁-2=0，∴x₁=-1或x₁=2
右支的特点是x≥0，
所以x₁=2，从而y₁=±

3

，
由此A（-1，0），B（2，

3

），C（2，-

3

），
可以算出面积：S=

3

4

AB 2=

3

4

×[3²+（

3

）²]=3

3

．
故答案为：3

3

．

点评：本小题主要考查双曲线的标准方程、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．