【题目】已知函数
(1)当a=0时,求函数f(x)在(1,f(1))处的切线方程;
(2)令求函数的极值.
(3)若,正实数满足,
证明:.
【答案】(1)2x﹣y﹣1=0;(2)详见解析;(3)
【解析】试题分析:
(1)利用导函数在处的值求得斜率,然后点斜式求解切线方程即可;
(2)利用导函数与极值的关系结合题意分类讨论可得当a≤0时,函数g(x)无极值;
当a>0时,函数g(x)有极大值﹣lna,无极小值;
(3)利用题意构造,结合题意进行证明即可.
试题解析:
(1)当a=0时,f(x)=lnx+x,则f(1)=1,所以切点为(1,1),
又f′(x)=+1,则切线斜率k=f′(1)=2,
故切线方程为:y﹣1=2(x﹣1),即2x﹣y﹣1=0;
(2)g(x)=f(x)﹣(ax﹣1)=lnx﹣ax2+(1﹣a)x+1,
所以g′(x)=﹣ax+(1﹣a)=,
当a≤0时,因为x>0,所以g′(x)>0.
所以g(x)在(0,+∞)上是递增函数,无极值;
当a>0时,g′(x)=,
令g′(x)=0,得x=,
所以当x∈(0,)时,g′(x)>0;当x∈(,+∞)时,g′(x)<0,
因此函数g(x)在x∈(0,)是增函数,在(,+∞)是减函数,
当a>0时,函数g(x)的递增区间是(0,),递减区间是(,+∞),
∴x=时,g(x)有极大值g()=﹣lna,
综上,当a≤0时,函数g(x)无极值;
当a>0时,函数g(x)有极大值﹣lna,无极小值;
(3)解:由,令,则由得,
可知,在区间(0,1)上单调递减,在区间上单调递增,所以,,
所以解得
又因为,因此成立
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【题目】2014年7月18日15时,超强台风“威马逊”登陆海南省.据统计,本次台风造成全省直接经济损失119.52亿元.适逢暑假,小明调查住在自己小区的50户居民由于台风造成的经济损失,作出如下频率分布直方图:
经济损失 4000元以下 | 经济损失 4000元以上 | 合计 | |
捐款超过500元 | 30 | ||
捐款低于500元 | 6 | ||
合计 |
(1)台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款,小明调查的50户居民捐款情况如上表,在表格空白处填写正确数字,并说明是否有以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关?
(2)台风造成了小区多户居民门窗损坏,若小区所有居民的门窗均由李师傅和张师傅两人进行维修,李师傅每天早上在7:00到8:00之间的任意时刻来到小区,张师傅每天早上在7:30到8:30分之间的任意时刻来到小区,求连续3天内,李师傅比张师傅早到小区的天数的数学期望.
附:临界值表
参考公式: .
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【题目】产能利用率是指实际产出与生产能力的比率,工r产能利用率是衡量工业生产经营状况的重要指标.下图为国家统计局发布的2015年至2018年第2季度我国工业产能利用率的折线图.
在统计学中,同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较,例如2016年第二季度与2015年第二季度相比较;环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较,例如2015年第二季度与2015年第一季度相比较.
据上述信息,下列结论中正确的是( ).
A. 2015年第三季度环比有所提高B. 2016年第一季度同比有所提高
C. 2017年第三季度同比有所提高D. 2018年第一季度环比有所提高
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【题目】在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形,AA1=2,AB=1,E为AD中点,F为CC1中点.
(1)求证:AD⊥D1F;
(2)求证:CE//平面AD1F;
(3)求AA1与平面AD1F成角的余弦值.
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【题目】某手机厂商在销售某型号手机时开展“手机碎屏险”活动.用户购买该型号手机时可选购“手机碎屏险”,保费为元,若在购机后一年内发生碎屏可免费更换一次屏幕,为了合理确定保费的值,该手机厂商进行了问卷调查,统计后得到下表(其中表示保费为元时愿意购买该“手机碎屏险”的用户比例):
(1)根据上面的数据计算得,求出关于的线性回归方程;
(2)若愿意购买该“手机碎屏险”的用户比例超过,则手机厂商可以获利,现从表格中的种保费任取种,求这种保费至少有一种能使厂商获利的概率.
附:回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为,
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【题目】某初级中学共有学生2000名,各年级男生女生人数如表: 已知在全校学生中随机抽取1名,抽到的是初二年级女生的概率是0.19.
初一年级 | 初二年级 | 初三年级 | |
女生 | 373 | x | y |
男生 | 377 | 370 | z |
(1)求x的值.
(2)现用分层抽样法在全校抽取48名学生,问应在初三年级学生中抽取多少名?
(3)已知y≥245,z≥245,求初三年级女生比男生多的概率.
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【题目】微信作为一款社交软件已经在支付,理财,交通,运动等各方面给人的生活带来各种各样的便利.手机微信中的“微信运动”,不仅可以看自己每天的运动步数,还可以看到朋友圈里好友的步数. 先生朋友圈里有大量好友使用了“微信运动”这项功能.他随机选取了其中40名,记录了他们某一天的走路步数,统计数据如下表所示:
(1)以样本估计总体,视样本频率为概率,在先生的微信朋友圈里的男性好友中任意选取3名,其中走路步数不低于6000步的有名,求的分布列和数学期望;
(2)如果某人一天的走路步数不低于8000步,此人将被“微信运动”评定为“运动达人”,否则为“运动鸟人”.根据题意完成下面的列联表,并据此判断能否有90%以上的把握认为“评定类型”
与“性别”有关?
附:.
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