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20.如图,正方形ABCD的边长为2,O为AD的中点,射线OP从OA出发,绕着点O顺时针方向旋转至OD,在旋转的过程中,记∠AOP为x(x∈[0,π),OP所经过的在正方形ABCD内的区域(阴影部分)的面积S=f(x),那么对于函数f(x)有以下三个结论:
①f($\frac{π}{3}$)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
②函数f(x)在($\frac{π}{2}$,π)上为减函数
③任意x∈[0,$\frac{π}{2}$],都有f($\frac{π}{2}$-x)+f($\frac{π}{2}$+x)=4
其中所有正确结论的序号是①③.

分析 ①直接带入求解②结合图象可知f(x)为增函数③利用图形的对称关系即可判断.

解答 解:①∵$\frac{π}{3}$<arctan2,∴射线OP交正方形ABCD与AB边,设交点为M,则AM=$\sqrt{3}$,∴f($\frac{π}{3}$ )=$\frac{1}{2}$•OA•AM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,①正确;
②由图形可知当x逐渐增大时,OP所经过的在正方形ABCD内的区域(阴影部分)的面积逐渐增大,所以f(x)为增函数,②不正确;
③由图形对称性可得:?x∈[0,π]),f(x)+f(π-x)=4,∵x∈[0,$\frac{π}{2}$]时,$\frac{π}{2}-x$$∈[0,\frac{π}{2}]$∴f($\frac{π}{2}-x$)+f(π-($\frac{π}{2}-x$))=4,
即f( $\frac{π}{2}$-x)+f( $\frac{π}{2}$+x)=4,③正确;
故答案为:①③.

点评 本题考查了图形面积的计算、简易逻辑的判定,考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力,属于中档题.

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