【题目】已知函数f(x)=xlnx,g(x)= (其中a∈R)
(1)求函数f(x)的极值;
(2)设函数h(x)=f′(x)+g(x)﹣1,试确定h(x)的单调区间及最值;
(3)求证:对于任意的正整数n,均有 > 成立.(注:e为自然对数的底数)
【答案】
(1)解: f(x)=xlnx,(x>0),f′(x)=1+lnx,
令f′(x)>0,解得:x> ,令f′(x)<0,解得:0<x< ,
∴f(x)在(0, )递减,在( ,+∞)递增,
∴f(x)的极小值是f( )=﹣ ;
(2)解:h(x)=f′(x)+g(x)﹣1=lnx+ ,(x>0),
h′(x)= ﹣ = ,
①a≤0时,h′(x)>0,h(x)在(0,+∞)递增,无最值,
②a>0时,令h′(x)>0,解得:x>a,令h′(x)<0,解得:0<x<a,
∴h(x)在(0,a)递减,在(a,+∞)递增,
∴h(x)min=h(a)=1+lna,
(3)证明:取a=1,由(Ⅱ)知,h(x)=lnx+ ≥f(1)=1,
∴ ≥1﹣lnx=ln ,亦即 ≥ ,
分别取 x=1,2,…,n得 ≥ ,
≥ , ≥ ,…, ≥ ,
将以上各式相乘,得: > 成立.
【解析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的极值即可;(2)求出h(x)的导数,通过讨论a的范围求出函数的单调区间,从而求出函数的极值即可;(3)令a=1,得到 ≥1﹣lnx=ln ,亦即 ≥ ,分别取 x=1,2,…,n,相乘即可.
【考点精析】利用基本求导法则和函数的极值与导数对题目进行判断即可得到答案,需要熟知若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导;求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值.
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【题目】某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系,对该校200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查,如表:(平均每天锻炼的时间单位:分钟)
平均每天锻炼 | [0,10) | [10,20) | [20,30) | [30,40) | [40,50) | [50,60) |
总人数 | 20 | 36 | 44 | 50 | 40 | 10 |
将学生日均课外课外体育运动时间在[40,60)上的学生评价为“课外体育达标”.
(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表,并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关?
课外体育不达标 | 课外体育达标 | 合计 | |
男 | |||
女 | 20 | 110 | |
合计 |
参考公式: ,其中n=a+b+c+d.
参考数据:
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该校高三学生中,抽取3名学生,记被抽取的3名学生中的“课外体育达标”学生人数为X,若每次抽取的结果是相互独立的,求X的数学期望和方差.
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【题目】已知定义在上的函数满足:对任意都有.
(1)求证:函数是奇函数;
(2)如果当时,有,试判断在上的单调性,并用定义证明你的判断;
(3)在(2)的条件下,若对满足不等式的任意恒成立,求的取值范围.
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【题目】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a、b、c,且满足3asinC=4ccosA, =3.
(1)求△ABC的面积S;
(2)若c=1,求a的值.
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【题目】近年来,随着我国汽车消费水平的提高,二手车流通行业得到迅猛发展.某汽车交易市场对2017年成交的二手车交易前的使用时间(以下简称“使用时间”)进行统计,得到频率分布直方图如图1.
图1 图2
(1)记“在年成交的二手车中随机选取一辆,该车的使用年限在”为事件,试估计的概率;
(2)根据该汽车交易市场的历史资料,得到散点图如图2,其中(单位:年)表示二手车的使用时间,(单位:万元)表示相应的二手车的平均交易价格.由散点图看出,可采用作为二手车平均交易价格关于其使用年限的回归方程,相关数据如下表(表中,):
①根据回归方程类型及表中数据,建立关于的回归方程;
②该汽车交易市场对使用8年以内(含8年)的二手车收取成交价格的佣金,对使用时间8年以上(不含8年)的二手车收取成交价格的佣金.在图1对使用时间的分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值.若以2017年的数据作为决策依据,计算该汽车交易市场对成交的每辆车收取的平均佣金.
附注:①对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为;
②参考数据:.
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【题目】某公司订购了一批树苗,为了检测这批树苗是否合格,从中随机抽测 株树苗的高度,经数据处理得到如图的频率分布直方图,起中最高的 株树苗高度的茎叶图如图所示,以这 株树苗的高度的频率估计整批树苗高度的概率.
(1)求这批树苗的高度高于 米的概率,并求图19-1中, , , 的值;
(2)若从这批树苗中随机选取 株,记 为高度在 的树苗数列,求 的分布列和数学期望.
(3)若变量 满足且 ,则称变量 满足近似于正态分布 的概率分布.如果这批树苗的高度满足近似于正态分布 的概率分布,则认为这批树苗是合格的,将顺利获得签收;否则,公司将拒绝签收.试问,该批树苗能否被签收?
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【题目】已知函数f(x)=|x+a|+|x﹣2|
(1)当a=﹣3时,求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≤|x﹣4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.
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【题目】已知a>0,a≠1,设p:函数y=loga(x+3)在(0,+∞)上单调递减,q:函数y=x2+(2a-3)x+1的图像与x轴交于不同的两点.如果p∨q真,p∧q假,求实数a的取值范围.
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