Question

【题目】已知函数f（x）=﹣x3+x2（x∈R），g（x）满足g′（x）= （a∈R，x＞0），且g（e）=a，e为自然对数的底数．
（Ⅰ）已知h（x）=e1﹣xf（x），求h（x）在（1，h（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若存在x∈[1，e]，使得g（x）≥﹣x2+（a+2）x成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）设函数F（x）= ，O为坐标原点，若对于y=F（x）在x≤﹣1时的图象上的任一点P，在曲线y=F（x）（x∈R）上总存在一点Q，使得 ＜0，且PQ的中点在y轴上，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵h（x）=（﹣x3+x2）e1﹣x，h'（x）=（x3﹣4x2+2x）e1﹣x，

∴h（1）=0，h'（1）=﹣1，

∴h（x）在（1，h（1））处的切线方程为：y=﹣（x﹣1），

即y=﹣x+1；

（Ⅱ）∵ ，

∴g（x）=alnx+c，

∴g（e）=alne+c=a+c=ac=0，从而g（x）=alnx，

由g（x）≥﹣x2+（a+2）x，得：（x﹣lnx）a≤x2﹣2x．

由于x∈[1，e]时，lnx≤1≤x，且等号不能同时成立，

所以lnx＜x，x﹣lnx＞0．

从而 ，为满足题意，必须 ．

设 ，x∈[1，e]，

则 ；

∵x∈[1，e]，

∴x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0，

从而t'（x）≥0，

∴t（x）在[1，e]上为增函数，

所以 ，

从而 ．

（Ⅲ）设P（t，F（t））为y=F（x）在x≤﹣1时的图象上的任意一点，则t≤﹣1，

∵PQ的中点在y轴上，

∴Q的坐标为（﹣t，F（﹣t）），

∵t≤﹣1，∴﹣t≥1，

所以P（t，﹣t3+t2），Q（﹣t，aln（﹣t）），

．

由于 ，

所以a（1﹣t）ln（﹣t）＜1．

当t=﹣1时，a（1﹣t）ln（﹣t）＜1恒成立，

∴a∈R；

当t＜﹣1时， ，

令 （t＜﹣1），

则

∵t＜﹣1，∴t﹣1＜0，tln（﹣t）＜0，

∴φ'（t）＞0，

从而 在（﹣∞，﹣1）上为增函数，

由于t→﹣∞时， ，

∴φ（t）＞0，∴a≤0

综上可知，a的取值范围是（﹣∞，0]．

【解析】（1）对h（x）求导，根据切线方程公式得出在（1，h（1））的切线方程；（2）设出g（x）的解析式，根据g（e）=a，求出g（x），进行参变分离，讨论出a的最大值；（3）设P（t，F（t））为y=F（x）在x≤-1时的图象上的任意一点，则a（1-t）ln（-t）＜1，对t进行讨论，综合求出a的取值范围.