Question

对于定义域为D的函数f（x），若存在区间M=[a，b]⊆D（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的“等值区间”．给出下列三个函数：
①f(x)=(

1

2

)x；   ②f（x）=x³；    ③f（x）=log₂x+1
则存在“等值区间”的函数的个数是

2

．

Answer 1

分析：根据“等值区间”的定义，要想说明函数存在“等值区间”，只要举出一个符合定义的区间M即可，但要说明函数没有“等值区间”，可以用反证明法来说明．由此对四个函数逐一进行判断，即可得到答案．

解答：解：①对于函数f(x)=(

1

2

)x，若存在“等值区间”[a，b]，由于函数是定义域内的减函数，故有(

1

2

)b=a，(

1

2

)a=b，即（a，b），（b，a）点均在函数图象上，且两点关于y=x对称，两点只能同时是函数f(x)=(

1

2

)x，与函数y=log

1

2

x图象的唯一交点．即只能是a=b，故①不存在“等值区间”．
②对于函数f（x）=x³存在“等值区间”，如 x∈[0，1]时，f（x）=x³∈[0，1]．
③对于 f（x）=log₂x+1，由于函数是定义域内的增函数，故在区间[1，2]上有f（1）=1，f（2）=2，所以函数存在“等值区间”[1，2]．
存在“等值区间”的函数的个数是2个
故答案为：2

点评：本题给出函数“稳定区间”的概念，要我们在几个函数中找出存在“稳定区间”函数的个数．着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数的定义域与值域等知识，属于中档题．