Question

下列命题中，说法正确的是

③④

①若向量

a

，

b

平行，则存在唯一的实数λ，使得

b

=λ

a

；
②若向量

a

∥

b

，

b

∥

c

，则

a

∥

c

；
③若向量

a

，

b

不平行，且λ

a

+μ

b

=

0

，则λ=μ=0；
④若向量

a

，

b

，

c

是任意的非零向量，且相互不平行，则(

b

•

c

)

a

-(

c

•

a

)

b

与

c

垂直．

Answer 1

分析：命题①②都没有考虑到零向量的特殊情况，故它们是不正确的；根据面向量基本定理可得③是正确的；根据向量垂直的充要条件，可得④是正确的．由此可得本题的答案．

解答：解：对于①，当向量

a

是零向量，而向量

b

不是零向量，
则不存在实数λ，使得

b

=λ

a

．故①不正确；
对于②，当向量

b

是零向量，满足

a

∥

b

，

b

∥

c

，
但不一定有

a

∥

c

，故②不正确；
对于③，根据平面向量基本定理，可得：
若向量

a

、

b

不平行，且λ

a

+μ

b

=

0

，则λ=μ=0，③是真命题；
对于④，因为[(

b

•

c

)

a

-(

c

•

a

)

b

]•

c

=（

b

•

c

）（

a

•

c

）-（

a

•

c

）（

b

•

c

）=0
根据向量垂直的充要条件，可得(

b

•

c

)

a

-(

c

•

a

)

b

与

c

垂直．故④是真命题．
综上所述，说法正确的是③④
故答案为：③④

点评：本题给出有关向量共线和数量积的几个命题，要我们判断其真假．着重考查了平面向量基本定理、向量垂直的充要条件等知识，属于基础题．