【题目】【2017届湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟高三2月联考数学(文)】已知函数.
(Ⅰ)讨论函数的极值点的个数;
(Ⅱ)若有两个极值点,证明:.
【答案】(Ⅰ)(ⅰ)时,仅有一个极值点;(ⅱ) 当时,无极值点;
(ⅲ)当时,有两个极值点.(Ⅱ)详见解析
【解析】试题分析:(Ⅰ)先求导数,再确定导函数零点情况,这需分类讨论:一次与二次的讨论,二次中有根与无根的讨论,两根情况分相等、一正一负、两不等正根,最后根据对应情况确定导函数符号变化规律,确定对应极值点个数;(Ⅱ)由(Ⅰ)先确定有两个极值点时,的取值范围,以及满足条件,再化简为的函数,最后根据导数确定对应函数单调性,根据单调性证明不等式.
试题解析:解:(Ⅰ)由得,
(ⅰ)时, ,
所以取得极小值,是的一个极小值点.
(ⅱ)时,,令,得
显然,,所以,
在取得极小值,有一个极小值点.
(ⅲ)时,时,即在是减函数,无极值点.
当时,,令,得
当和时,时,,所以在取得极小值,在取得极大值,所以有两个极值点.
综上可知:(ⅰ)时,仅有一个极值点;
(ⅱ) 当时,无极值点;
(ⅲ)当时,有两个极值点.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当且仅当时,有极小值点和极大值点,且
是方程的两根,所以,
,
设,,
所以时,是减函数,,则
所以得证.
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【题目】已知定义在上的函数 和的图象如图
给出下列四个命题:
①方程有且仅有个根;②方程有且仅有个根;
③方程有且仅有个根;④方程有且仅有个根;
其中正确命题的序号是( )
A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④
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【题目】一个袋中有7个大小、形状相同的小球,6个白球1个红球.现任取1个,若为红球就停止,若为白球就放回,搅拌均匀后再接着取.试设计一个模拟试验,计算恰好第三次摸到红球的概率.
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【题目】某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量(单位:台),并根据这10个卖场的销售情况,得到如图所示的茎叶图.
为了鼓励卖场,在同型号电视机的销售中,该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”.
(1)当时,记甲型号电视机的“星级卖场”数量为,乙型号电视机的“星级卖场”数量为,比较的大小关系;
(2)在这10个卖场中,随机选取2个卖场,记为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数,求的分布列和数学期望;
(3)若,记乙型号电视机销售量的方差为,根据茎叶图推断为何值时,达到最小值.(只需写出结论)
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【题目】【2017届广西陆川县中学高三文上学期二模】已知函数.
(I)求函数的单调区间;
(II)若在上恒成立,求实数的取值范围;
(III)在(II)的条件下,对任意的,求证:.
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【题目】【2017届安徽百校论坛高三文上学期联考二】已知函数.
(1)若对恒成立,求实数的取值范围;
(2)是否存在整数,使得函数在区间上存在极小值,若存在,求出所有整数的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为,它在点处的切线为直线.
(Ⅰ)求直线的直角坐标方程;
(Ⅱ)已知点为椭圆上一点,求点到直线的距离的取值范围.
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【题目】某商场经营一批进价为元/台的小商品,经调查得知如下数据.若销售价上下调整,销售量和利润大体如下:
销售价(元/台) | ||||
日销售量(台) | ||||
日销售额(元) | ||||
日销售利润(元) |
(1)在下面给出的直角坐标系中,根据表中的数据描出实数对的对应点,并写出与的一个函数关系式;
(2)请把表中的空格里的数据填上;
(3)根据表中的数据求与的函数关系式,并指出当销售单价为多少元时,才能获得最大日销售利润?
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