Question

2．定义两个实数间的一种新运算“*”：x*y=lg（10^x+10^y）（x，y∈R）．对于任意实数a，b，c，给出如下结论：
①a*b=b*a；②（a*b）*c=a*（b*c）③（a*b）+c=（a+c）*（b+c）；④（a*b）×c=（a×c）*（b×c）．其中正确的结论是1，2，3．

Answer 1

分析 由x*y=lg（10^x+10^y），x，y∈R，对①②③④逐个判断即可．

解答 解：∵x*y=lg（10^x+10^y），x，y∈R，
∴①中，a*b=lg（10^a+10^b），
∴（a*b）*c=lg（10^a*b+10^c）=lg（10lg（10a+10b）+10^c）=lg（10^a+10^b+10^c）；
同理可求，a*（b*c）=lg（10^a+10^b+10^c）；  
∴（a*b）*c=a*（b*c），故①正确；  
②由①知，a*b=lg（10^a+10^b），同理可得b*a=lg（10^a+10^b），
即a*b=b*a，故②正确；
③中，左边（a*b）+c=lg（10^a+10^b）+c；
右边（a+c）*（b+c）
=lg（10^a+c+10^b+c）
=lg[10^c（10^a+10^b）]
=lg10^c+lg（10^a+10^b）
=c+lg（10^a+10^b）=左边，
故③正确；
④中，左边：=（a*b）×c=clg（10^a+10^b）=lg（10^a+10^b）^c，
右边=（a×c）*（b×c）=lg（10^ac+10^bc）≠左边．
故④不正确；
故答案为：1，2，3．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查对数的运算性质与对数恒等式的应用，考查推理与运算能力，属于中档题．