Question

已知：函数f(x)=2

3

sin2x+

cos3x

cosx

．
（1）求函数f（x）的最大值及此时x的值；
（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且对f（x）定义域中的任意的x都有f（x）≤f（A）．现在给出三个条件：①a=2；②B=45°；③c=

3

b，试从中选出两个可以确定△ABC的条件，写出你的选择并以此为依据求△ABC的面积．（只需写出一个选定方案即可）

Answer 1

分析：（1）由已知中函数f(x)=2

3

sin2x+

cos3x

cosx

．利用两角和的余弦公式，及二倍角公式，辅助角公式，可以将式子化简为一个正弦型函数的形式，根据正弦型函数的性质，即可得到答案．
（2）由已知中对f（x）定义域中的任意的x都有f（x）≤f（A），我们易求出A的大小，结合：①a=2；②B=45°；③c=

3

b，易求出△ABC的面积．

解答：解：（1）f(x)=2

3

sin2x+

cos3x

cosx

=2

3

sin2x+

cos2x•cosx-sin2x•sinx

cosx

=2

3

sin2x+cos2x-2sin 2x
=2

3

sin2x+2cos2x-1
=4sin(2x+

π

6

)-1…4分
所以当2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z时，f（x）取最大值3，
此时，x=kπ+

π

6

，k∈Z；…（6分）
（2）由f（A）是f（x）的最大值及A∈（0，π），得到，A=

π

6

，
方案1 选择①②…（7分）
由正弦定理

a

sin π 6

=

b

sin π 4

，则b=2

2

，
sinC=sin（A+B）=

2 + 6

4

，…（10分）
所以，面积S=

1

2

a•b•sinC=

3

+1．…（12分）

点评：本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换应用，三角形中的几何计算，三角函数的最值，解三角形，其中（1）的关键是化简函数的解析式为一个正弦型函数的形式，（2）的关键是求出A的大小．