Question

选修4-5：不等式选讲
（Ⅰ）已知x，y都是正实数，求证：x³+y³≥x²y+xy²；
（Ⅱ）已知a，b，c都是正实数，求证：a3+b3+c3≥

1

3

(a2+b2+c2)(a+b+c)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）作差因式分解得（x-y）²（x+y），根据题意可得（x-y）²（x+y）≥0，从而问题得证；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：a³+b³≥a²b+ab²；b³+c³≥b²c+bc²；c³+a³≥c²a+ca²；上述三式相加即可证得．

解答：证明：（Ⅰ）∵（x³+y³）-（x²y+xy²）=x²（x-y）+y²（y-x）=（x-y）（x²-y²）=（x-y）²（x+y），
又∵x，y∈R⁺，∴（x-y）²≥0，，x+y＞0，∴（x-y）²（x+y）≥0，
∴x³+y³≥x²y+xy²．…（5分）
（Ⅱ）∵a，b，c∈R⁺，由（Ⅰ）知：a³+b³≥a²b+ab²；b³+c³≥b²c+bc²；c³+a³≥c²a+ca²；
将上述三式相加得：2（a³+b³+c³）≥（a²b+ab²）+（b²c+bc²）+（c²a+ca²），

3(a3+b3+c3)≥(a3+a2b+ca2)+(b3+ab2+b2c)+(c3+bc2+c2a) =a2(a+b+c)+b2(a+b+c)+c2(a+b+c) =(a+b+c)+(a2+b2+c2)

∴a3+b3+c3≥

1

3

(a2+b2+c2)(a+b+c)．…（10分）

点评：本题考查不等式的证明，利用了综合法．综合法由因导果，作差时应注意因式分解，同时与0 比较．