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已知函数f(x)=
ax-a-x
ax+a-x
(其中a>0且a≠1).
(1)求函数f(x)的值域;
(2)判断奇偶性并证明之;
(3)判断单调性并证明之.
考点:函数奇偶性的判断,函数的值域,函数单调性的判断与证明
专题:函数的性质及应用
分析:(1)首先对函数关系是进行恒等变换转换成f(x)=1-
2
a2x+1
,进一步利用指数函数的值域确定该函数的值域.
(2)利用定义判断函数的奇偶性①定义域的对称问题②f(-x)与f(x)的关系.
(3)采用分类讨论思想①0<a<1①0<a<1进一步利用单调性进行证明.
解答: 解:(1)已知函数f(x)=
ax-a-x
ax+a-x
(a>0且a≠1)
则:f(x)=
ax-
1
ax
ax+
1
ax
=
a2x-1
a2x+1
=1-
2
a2x+1

由于a>0且a≠1
则:a2x>0
进一步求得:0<
2
a2x+1
<2
所以:1>f(x)>-1
即:函数f(x)的值域:(-1,1)
(2)函数f(x)是奇函数.
证明:①x∈R
②f(-x)=
a-x-ax
ax+a-x
=-f(x),
所以函数f(x)是奇函数;
(3)函数f(x)①0<a<1为减函数②a>1为增函数.
证明:由(1)得f(x)=1-
2
a2x+1
(a>0且a≠1),
①0<a<1,
a2x在定义域x∈R内为单调递减函数,
则:
2
a2x+1
为单调递增函数,
进一步求得f(x)=1-
2
a2x+1
在定义域x∈R内为单调递减函数;
②a>1,
a2x在定义域x∈R内为单调递增函数
则:
2
a2x+1
为单调递减函数
进一步求得f(x)=1-
2
a2x+1
在定义域x∈R内为单调递增函数
故答案为:(1)函数f(x)的值域:(-1,1)
(2)函数f(x)是奇函数
(3)函数f(x)①0<a<1为减函数②a>1为增函数
点评:本题考查的知识要点:函数的恒等变换.求函数的值域,判断函数的奇偶性的两个条件,利用指数函数的单调性判断函数的单调性分类讨论思想在题中的应用.
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.(填写正确的序号)
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④当0<a<1时,f(x)的最小值为a-a2

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2.1
1
3
,2.2
1
3
,0.3
1
2
这三个数从小到大排列为
 

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1
2
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时间x(天)1234
每天产量y(套)22242628
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请解答下列问题.
(1)求每天生产的西服数量y(套)与x(天)之间的关系式及成本z(元)与x(天)之间的关系式.
(2)已知这批西服的订购价格为每套1400元,设该车间每天的利润为W(元),试求出日利润W(元)与时间x(天)之间的函数关系式,并求出哪一天该车间获得最大利润,最大利润是多少元?
(3)在实际销售中,厂家决定从第13天起,每天按日最大利润进行生产并完全售出.生产7天后,由于机器损耗等原因,平均每套西服的成本比日最大利润时增加0.5a%(a<50),所以厂家把定购价提高了200元再生产8天,但这8天的日销量比日最大利润时的销量下降了a%,根据销售记录显示,这8天的销售利润的总和与前7天的销售利润总和持平,求整数a.

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