Question

（理）如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD
（1）问BC边上是否存在Q点，使

PQ

⊥

QD

，说明理由．
（2）问当Q点惟一，且cos＜

BP

，

QD

＞=

10

10

时，求点P的位置．

Answer 1

分析：（1）建立空间直角坐标系A一xyz，设P，D，Q的坐标，求得向量坐标，利用

PQ

⊥

QD

，可方程，利用判别式，即可得到结论；
（2）当Q点惟一时，由5题知，a=2，y=1，利用cos＜

BP

，

QD

＞=

10

10

，建立方程，即可求点P的位置．

解答：（理）解：（1）如答图9-6-2所示，建立空间直角坐标系A一xyz，设P（0，0，z），D（0，a，0），Q（1，y，0），

则

PQ

=（1，y，-z），

QD

=（-1，a-y，0），且

PQ

⊥

QD

，
∴

PQ

•

QD

=-1+y（a-y）=0
∴y²-ay+1=0．
∴△=a²-4．
当a＞2时，△＞0，存在两个符合条件的Q点；
当a=2时，△=0，存在惟一一个符合条件的Q点；
当a＜2时，△＜0，不存在符合条件的Q点．
（2）当Q点惟一时，由题知，a=2，y=1．
∴B（1，0，0），

BP

=（-1，0，z），

QD

=（-1，1，0）．
∴cos＜

BP

，

QD

＞=

BP • QD

| BP || QD

=

1

1+z2 × 2

=

10

10

．
∴z=2．即P在距A点2个单位处．

点评：本题考查向量在几何中的运用，解题的关键是建立坐标系，利用坐标表示点与向量，属于中档题．