【题目】已知点P是圆F1:(x+1)2+y2=16上任意一点(F1是圆心),点F2与点F1关于原点对称.线段PF2的中垂线m分别与PF1、PF2交于M、N两点.
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)直线l经过F2 , 与抛物线y2=4x交于A1 , A2两点,与C交于B1 , B2两点.当以B1B2为直径的圆经过F1时,求|A1A2|.
【答案】
(1)解:由题意得,F1(﹣1,0),F2(1,0),圆F1的半径为4,且|MF2|=|MP|,
从而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=|PF1|=4>|F1F2|,)
∴点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,
其中长轴2a=4,得到a=2,焦距2c=2,
则短半轴b= ,
椭圆方程为:
(2)解:当直线l 与x轴垂直时,B1(1, ),B2(1,﹣ ),又F1(﹣1,0),
此时 ,所以以B1B2为直径的圆不经过F1.不满足条件.
当直线l 不与x轴垂直时,设L:y=k(x﹣1)
由 即(3+4k2)x2﹣8k2x+4k2﹣12=0,
因为焦点在椭圆内部,所以恒有两个交点.
设B1(x1,y1),B2(x2,y2),则:x1+x2= ,x1x2= ,
因为以B1B2为直径的圆经过F1,所以 ,又F1(﹣1,0)
所以(﹣1﹣x1)(﹣1﹣x2)+y1y2=0,即(1+k2)x1x2+(1﹣k2)(x1+x2)+1+k2=0
所以解得k2= ,
由 得k2x2﹣(2k2+4)x+k2=0
因为直线l 与抛物线有两个交点,所以k≠0,
设A1(x3,y3),A2(x4,y4),则:x3+x4= =2+ ,x3x4=1
所以|A1A2|=x3+x4+p=2+ +2= .
【解析】(1)先确定F1、F2的坐标,再根据线段PF2的中垂线与与PF1、PF2交于M点,结合椭圆的定义,可得点M的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆,从而可得点M的轨迹C的方程;(2)当直线l与x轴垂直时,B1(1, ),B2(1,﹣ ),不满足条件,当直线l不与x轴垂直时,设直线l的方程为:y=k(x﹣1),由 ,得(3+4k2)x2﹣8k2x+4k2﹣12=0,由此利用根的判别式、韦达定理、圆的性质、弦长公式能求出|A1A2|.
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【题目】已知向量 =(﹣3,1), =(1,﹣2), = +k (k∈R).
(1)若 与向量2 ﹣ 垂直,求实数k的值;
(2)若向量 =(1,﹣1),且 与向量k + 平行,求实数k的值.
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【题目】如图是某工厂对一批新产品长度(单位:mm)检测结果的频率分布直方图.估计这批产品的中位数为( )
A.20
B.25
C.22.5
D.22.75
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【题目】若函数f(x)对于定义域内的任意x都满足 ,则称f(x)具有性质M.
(1)很明显,函数 (x∈(0,+∞)具有性质M;请证明 (x∈(0,+∞)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数.
(2)已知函数g(x)=|lnx|,点A(1,0),直线y=t(t>0)与g(x)的图象相交于B、C两点(B在左边),验证函数g(x)具有性质M并证明|AB|<|AC|.
(3)已知函数 ,是否存在正数m,n,k,当h(x)的定义域为[m,n]时,其值域为[km,kn],若存在,求k的范围,若不存在,请说明理由.
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【题目】设椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2 , P是椭圆上一点,|PF1|=λ|PF2|( ≤λ≤2),∠F1PF2= ,则椭圆离心率的取值范围为( )
A.(0, ]
B.[ , ]
C.[ , ]
D.[ ,1)
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【题目】已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,C上一点(3,m)到焦点的距离为5.
(1)求C的方程;
(2)过F作直线l,交C于A、B两点,若线段AB中点的纵坐标为﹣1,求直线l的方程.
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【题目】(1)若cos = , π<x< π,求 的值. 【答案】解:由 π<x< π,得 π<x+ <2π,
又cos = ,∴sin =﹣ ;
∴cosx=cos =cos cos +sin sin =﹣ ,
从而sinx=﹣ ,tanx=7;
故原式= ;
(1)已知函数f(x)=2 sinxcosx+2cos2x﹣1(x∈R),若f(x0)= ,x0∈[ , ],求cos2x0的值.
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【题目】在三棱锥S﹣ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2 ,M为AB的中点.
(1)求证:AC⊥SB;
(2)求二面角S﹣CM﹣A的平面角的余弦值.
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