【题目】已知动圆过定点,且在轴上截得线段的长为 4,直线交轴于点.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程;
(2)直线与轨迹交于两点,分别以为切点作轨迹的切线交于点,若.试判断实数所满足的条件,并说明理由.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】试题分析:(1)根据垂径定理列出动圆圆心满足的条件,化简可得轨迹方程;(2)由, 得,再利用导数几何意义得切线斜率,根据点斜式可得切线方程,解方程组可得P点坐标,联立直线方程与抛物线方程,结合韦达定理化简等量关系得,解得.
试题解析:(1)设动圆圆心的坐标为,半径, ,
∵动圆过定点,且在轴上截得线段的长为4,
∴,消去得,
故所求轨迹的方程为 ;
(2)实数是定值,且,下面说明理由,
不妨设,
,由题知,
由,消去得,
∴,轨迹在点处的切线方程为,即,
同理,轨迹在处的切线方程为,
联立:的方程解得交点坐标,即,
由,
得,即,
, ,
∴,
即,
则,
则,故实数是定值,且.
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【题目】朱载堉(1536—1611),明太祖九世孙,音乐家、数学家、天文历算家,在他多达百万字的著述中以《乐律全书》最为著名,在西方人眼中他是大百科全书式的学者王子。他对文艺的最大贡献是他创建了“十二平均律”,此理论被广泛应用在世界各国的键盘乐器上,包括钢琴,故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻祖”。“十二平均律”是指一个八度有13个音,相邻两个音之间的频率之比相等,且最后一个音频率是最初那个音频率的2倍,设第二个音的频率为,第八个音的频率为,则等于
A. B. C. D.
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【题目】某超市在元旦期间开展优惠酬宾活动,凡购物满100元可抽奖一次,满200元可抽奖两次…依此类推.抽奖箱中有7个白球和3个红球,其中3个红球上分别标有10元,10元,20元字样.每次抽奖要从抽奖箱中有放回地任摸一个球,若摸到红球,根据球上标注金额奖励现金;若摸到白球,没有任何奖励.
(Ⅰ)一次抽奖中,已知摸中了红球,求获得20元奖励的概率;
(Ⅱ)小明有两次抽奖机会,用表示他两次抽奖获得的现金总额,写出的分布列与数学期望.
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【题目】已知等比数列的公比,前n项和为.若,且是与的等差中项.
(1)求;
(2)数列满足,,求数列的前2019项和;
(3)设,问数列中是否存在三项,它们可以构成等差数列?若存在,请求出一组适合条件的项;若不存在,请说明理由.
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【题目】我校为了让高一学生更有效率地利用周六的时间,在高一新生第一次摸底考试后采取周六到校自主学习,同时由班主任老师值班,家长轮流值班.一个月后进行了第一次月考,高一数学教研组通过系统抽样抽取了名学生,并统计了他们这两次数学考试的优良人数和非优良人数,其中部分统计数据如下:
(1)请画出这次调查得到的列联表;并判定能否在犯错误概率不超过的前提下认为周六到校自习对提高学生成绩有效?
(2)从这组学生摸底考试中数学优良成绩中和第一次月考的数学非优良成绩中,按分层抽样随机抽取个成绩,再从这个成绩中随机抽取个,求这个成绩来自同一次考试的概率.
下面是临界值表供参考:
(参考公式: ,其中
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【题目】已知椭圆的离心率为,左、右焦点分别为,,焦距为6.
(1)求椭圆的方程.
(2)过椭圆左顶点的两条斜率之积为的直线分别与椭圆交于点.试问直线是否过某定点?若过,求出该点的坐标;若不过,请说明理由.
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