Question

19．中日“钓鱼岛争端”问题越来越引起社会关注，我校对高二600名学生进行了一次“钓鱼岛”知识测试，并从中抽取了部分学生的成绩（满分100分）作为样本，绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图．

分　组	频　数	频　率
[50，60）	2	0.04
[60，70）	8	0.16
[70，80）	10	0.2
[80，90）	16	0.32
[90，100]	14	0.28
合　计	50	1.00

（1）填写频率分布表中的空格，补全频率分布直方图，并标出每个小矩形对应的纵轴数据；
（2）请你估算该年级学生成绩的中位数；
（3）如果用分层抽样的方法从样本分数在[60，70）和[80，90）的人中共抽取6人，再从6人中选2人，求2人分数都在[80，90）的概率．

Answer 1

分析 （1）先填写完整频率分布表，由此能补全频率分布直方图．
（2）设中位数为x，利用频率分布直方图列出方程，给求出中位数．
（3）由题意知样本分数在[60，70）有8人，样本分数在[80，90）有16人，用分层抽样的方法从样本分数在[60，70）和[80，90）的人中共抽取6人，则抽取的分数在[60，70）和[80，90）的人数分别为2人和4人．记分数在[60，70）为a₁，a₂在[80，90）的为b₁，b₂，b₃，b₄．由此利用列举法能求出2人分数都在[80，90）的概率．

解答 解：（1）填写频率分布表中的空格，如下表：
 
补全频率分布直方图，如下图：

故答案为：0.2，16，0.32，50．…（5分）
（2）设中位数为x，依题意得0.04+0.16×6+0.2+0.032×（x-80）=0.5，
解得x=83.125．  所以中位数约为83.125．…（7分）
（3）由题意知样本分数在[60，70）有8人，样本分数在[80，90）有16人，
用分层抽样的方法从样本分数在[60，70）和[80，90）的人中共抽取6人，
则抽取的分数在[60，70）和[80，90）的人数分别为2人和4人．
记分数在[60，70）为a₁，a₂在[80，90）的为b₁，b₂，b₃，b₄．
从已抽取的6人中任选两人的所有可能结果有15种，分别为：
$\begin{array}{l}\left\{{{a_1}，{a_2}}\right\}，\left\{{{a_1}，{b_1}}\right\}，\left\{{{a_1}，{b_2}}\right\}，\left\{{{a_1}，{b_3}}\right\}，\left\{{{a_1}，{b_4}}\right\}\\ \left\{{{a_2}，{b_1}}\right\}，\left\{{{a_2}，{b_2}}\right\}，\left\{{{a_2}，{b_3}}\right\}，\left\{{{a_2}，{b_4}}\right\}\\ \left\{{{b_1}，{b_2}}\right\}，\left\{{{b_1}，{b_3}}\right\}，\left\{{{b_1}，{b_4}}\right\}，\left\{{{b_2}，{b_3}}\right\}，\left\{{{b_2}，{b_4}}\right\}，\left\{{{b_3}，{b_4}}\right\}\end{array}$．
设“2人分数都在[80，90）”为事件A，
则事件A包括{b₁，b₂}，{b₁，b₃}，{b₁，b₄}，{b₂，b₃}，{b₂，b₄}，{b₃，b₄}共6种．…（8分）
所以$P（A）=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$…（12分）

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．