分析:(I)h(x)=2x-π-cosx,令
?(x)=cos-,x∈[-+kπ,+kπ]k∈z.然后利用导数研究函数的最小值,讨论k的奇偶,即可得到
与
h()的大小关系;
(II)由条件知:2x
n+1-π=cosx
n,则x∈R时恒有|x|≥|sinx|,从而得到
|x1-|+…|xn-|≤+•+…+•()n-1,然后利用等比数列求和公式进行求和即可证得结论.
解答:解:(Ⅰ)h(x)=2x-π-cosx.∴
-h()=
cos-.(2分)
令
?(x)=cos-,x∈[-+kπ,+kπ]k∈z.
则
?′(x)=-sin=[sinx-sin].
又
x,∈[-+kπ,+kπ].
∴当k为偶数时,
x∈[-+kπ,x2)时,?'(x)<0.
x∈
(x2,+kπ)时,?'(x)>0.(5分)
∴?(x)>?(x
2)=0.∴从而
>h().(6分)
同理可得当k为奇数时,
<h().
∴当k为偶数时,
>h(),
当k为奇数时,
<h().(7分)
(Ⅱ)由条件知:2x
n+1-π=cosx
n.
当
|x|≥时,|x|≥1≥|sinx|,当
|x|≤时,|x|≥|sinx|,∴x∈R时恒有|x|≥|sinx|.(9分)
故
|xn+1-|=|cosxn|=|sin(xn-)|≤|xn-|≤()2|xn-1-|≤…≤()n|x1-|.
又
x1∈[,],∴
|x1-|≤.∴
|x1-|+…|xn-|≤+•+…+•()n-1=
•=[1-()n]<.(14分)
点评:本题主要考查了利用导数证明不等式,以及数列与不等式的综合,同时考查了分类讨论的数学思想,属于中档题.