Question

10．若对于任意实数x∈[e，e²]，不等式$\frac{{e}^{m}}{2}$＞x-$\frac{{e}^{2}}{lnx}$恒成立，则实数的取值范围是 （　　）

• A． （-∞，-2）
• B． （-∞，2）
• C． （$\frac{1}{2}$，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 构造函数，确定单调性，求出最大值，即可求得m的取值范围．

解答 解：设y=x-$\frac{{e}^{2}}{lnx}$，则y′=1+$\frac{{e}^{2}}{x（lnx）^{2}}$＞0，
函数在x∈[e，e²]上单调递增，∴y_max=$\frac{1}{2}$e²，
∵对于任意实数x∈[e，e²]，不等式$\frac{{e}^{m}}{2}$＞x-$\frac{{e}^{2}}{lnx}$恒成立，
∴$\frac{{e}^{m}}{2}$＞$\frac{1}{2}$e²，
∴m＞2，
故选：D．

点评 本题考查求实数的取值范围，考查导数知识的运用，正确构造函数是关键．