Question

a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，其外接圆的半径为1，且（sinB+sinC+sinA）（sinB+sinC-sinA）=3sinBsinC，边b，c是关于x的方程：x²-3x+4cosA=0两个根（b＞c），求：角A的值及边a，b，c的值．

Answer 1

分析：对（sinB+sinC+sinA）（sinB+sinC-sinA）=3sinBsinC，化简整理的sin²B+sin²C-sin²A=sinBsinC，根据正弦定理得：b²+c²-a²=bc
代入余弦定理中即可求得cosA，进而求得A．进而可知x²-3x+4cosA=x²-3x+2=0求得方程的跟，进而求得b和c，再利用b²+c²-a²=bc求得a．

解答：解：（sinB+sinC+sinA）（sinB+sinC-sinA）=（sinB+sinC）²-sin²A=3sinBsinC
=sin²B+sin²C-sin²A=sinBsinC
根据正弦定理得：b²+c²-a²=bc
∴由余弦定理得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

∴∠A=60°
x²-3x+4cosA=x²-3x+2=0
∵b＞c∴b=2，c=1
a²=b²+c²-bc=4+1-2=3
∴a=

3

，b=2，c=1

点评：本题考查正弦定理和余弦定理及一元二次方程，考查了学生综合分析问题的能力．