Question

有下列命题：
①在函数y=cos(x-

π

4

)cos(x+

π

4

)的图象中，相邻两个对称中心的距离为

π

2

；
②若锐角α，β满足cosα＞sinβ，则α+β＜

π

2

；
③函数f（x）=ax²-2ax-1有且仅有一个零点，则实数a=-1；
④要得到函数y=sin(

x

2

-

π

4

)的图象，只需将y=sin

x

2

的图象向右平移

π

4

个单位．
⑤非零向量

a

和

b

满足|

a

|=|

b

|=|

a

-

b

|，则

a

与

a

+

b

的夹角为60°．
其中所有真命题的序号是

①②③

．

Answer 1

分析：①将f（x）=cos（x+

π

4

）化为f（x）=

1

2

cos2x，可求其周期，图象上相邻两个对称中心的距离是

T

2

，从而进行求解；
②将sinβ=cos（

π

2

-β），代入cosα＞sinβ，进行求解；
③函数f（x）=）=ax²-2ax-1，利用图象的性质可得△=0，进行求解；
④函数y=sin(

x

2

-

π

4

)的图象，根据平移的性质，进行求解；
⑤非零向量

a

和

b

满足|

a

|=|

b

|=|

a

-

b

|，可以推出

a

与

a

+

b

的夹角为30°，从而进行判断；

解答：解：①∵f（x）=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）=

1

2

cos2x，
∴其周期T=π，又图象上相邻两个对称中心的距离是

T

2

，故①正确；
②∵cosα＞sinβ，cosα＞cos（

π

2

-β），可得cosα-cos（

π

2

-β）＞0，
∵α，β是锐角，
∴α＜

π

2

-β，即α+β＜

π

2

；故②正确；
③函数f（x）=ax²-2ax-1有且仅有一个零点，
∴△=（-2a）²-4a×（-1）=4a²+4a=0，解得a=-1，a=0（舍去），故③正确；
④要得到函数y=sin(

x

2

-

π

4

)的图象，只需将函数y=sin

x

2

的图象向右平移

π

2

个单位可得，故④错误；
⑤非零向量

a

和

b

满足|

a

|=|

b

|=|

a

-

b

|，∴

a

与

a

+

b

的夹角为30°，故⑤错误；
故答案为：①②③；

点评：此题考查三角函数的性质及函数的性质，考查的知识点比较全面，是一道基础题；