Question

14．如图，已知PB⊥矩形ABCD所在的平面，E，F分别是BC，PD的中点，∠PAB=45°，AB=1，BC=2．
（1）求证：EF∥平面PAB；   
（2）求证：平面PED⊥平面PAD；
（3）求三棱锥E-PAD的体积．

Answer 1

分析 （1）取PA的中点N，连接NB，NF，推导出NFEB是平行四边形，从而EF∥BN，由此能证明EF∥平面PAB．
（2）推导出PB⊥AD，PB⊥AB，从而AD⊥平面PAB，进而AD⊥BN，再求出BN⊥PA，从而EF⊥平面PAD，由此能证明平面PED⊥平面PAD．
（3）由V_E-PAD=V_P-EAD，能求出三棱锥E-PAD的体积．

解答 （本小题满分12分）
证明：（1）取PA的中点N，连接NB，NF，又F是PD的中点，
∴NF∥AD，NF=$\frac{1}{2}AD$．
在矩形ABCD中，E是BC的中点，
∴BE∥AD，BE=$\frac{1}{2}AD$．
∴NF∥BE且NF=BE，得NFEB是平行四边形，
∴EF∥BN．
∵BN?平面PAB，EF?平面PAB，
∴EF∥平面PAB…（4分）
（2）依题意 PB⊥平面ABCD，AD，AB?平面ABCD，
∴PB⊥AD，PB⊥AB．又AD⊥AB，AB∩PB=B，∴AD⊥平面PAB，
∵BN?平面PAB，∴AD⊥BN，
在Rt△PAB中，∠PAB=45°，N是PA的中点，∴BN⊥PA，
又AD∩PA=A，∴BN⊥平面PAD，由（1）EF∥BN，∴EF⊥平面PAD，
∵EF?平面PED，∴平面PED⊥平面PAD…（8分）
解：（3）由（2）知等腰Rt△PAB中，PB=AB=1，且PB是三棱锥P-EAD的高．
又    S_△EAD=$\frac{1}{2}AB•AD=\frac{1}{2}×2×1=1$，
∴三棱锥E-PAD的体积V_E-PAD=V_P-EAD=$\frac{1}{3}$S_△EAD•PB=$\frac{1}{3}×1×1=\frac{1}{3}$…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间想象能力、推理谁能力、数形结合思想、转化思想以及计算能力，是中档题．