Question

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合．设点O为坐标原点，直线l：

x= 2 2 t+4 y= 2 2 t

（参数t∈R）与曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=4cosθ．
（1）求直线l与曲线C的普通方程；
（2）设直线L与曲线C相交于A，B两点，求证：

OA

•

OB

=0．

Answer 1

分析：（ I）由直线l：

x= 2 2 t+4 y= 2 2 t

（参数t∈R），知x=y+4，由此得到直线l的普通方程；由曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=4cosθ，得到ρ²sin²θ=4ρcosθ．由此得到曲线C的普通方程．
（ II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y2=4x y=x-4

消去y得x²-12x+16=0，再由韦达定理进行求解．

解答：解：（ I）∵直线l：

x= 2 2 t+4 y= 2 2 t

（参数t∈R），
∴x=y+4，∴直线l：y=x-4，
∵曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=4cosθ．
∴曲线C的极坐标方程为ρ²sin²θ=4ρcosθ．
曲线C：y²=4x，（5分）
（ II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y2=4x y=x-4

消去y得x²-12x+16=0，∴x₁+x₂=12，x₁x₂=16，（7分）
∴y₁y₂=（x₁-4）（x₂-4）=x₁x₂-4（x₁+x₂）+16
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂-4（x₁+x₂）+16=0．　（10分）

点评：本题考查直线方程和曲线方程的求法和数量积等于0的证明，解题时要熟练掌握参数方程和普通方程的互化，同时要注意韦达定理的合理运用．