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如图,点P是以AB为直径的圆O上动点,P'是点P关于AB的对称点,AB=2a(a>0).
(Ⅰ)当点P是弧
AB
上靠近B的三等分点时,求
AP
AB
的值;
(Ⅱ)求
AP
OP′
的最大值和最小值.
(Ⅰ)以直径AB所在直线为x轴,以O为坐标原点建立平面直角坐标系.
∵P是弧AB靠近点B的三等分点,
连接OP,则∠BOP=
π
3

点P坐标为(
1
2
a,
3
2
a)

又点A坐标是(-a,0),点B坐标是(a,0),
AP
=(
3
2
a,
3
2
a)
AB
=(2a,0)

AP
AB
=3a2

(Ⅱ)设∠POB=θ,θ∈[0,2π),则P(acosθ,asinθ),
P'(acosθ,-asinθ),
AP
=(acosθ+a,asinθ)
OP′
=(acosθ,-asinθ)

AP
OP′
=a2cos2θ+a2cosθ-a2sin2θ
=a2(2cos2θ+cosθ-1)
=2a2(cos2θ+
1
2
cosθ+
1
16
)-
9
8
a2
=2a2(cosθ+
1
4
)2-
9
8
a2

cosθ=-
1
4
时,
AP
OP′
有最小值-
9
8
a2

当cosθ=1时,
AP
OP′
有最大值2a2
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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知抛物线C1:x2=8y和圆C2:x2+(y-2)2=4,直线l过C1焦点,且与C1,C2交于四点,从左到右依次为A,B,C,D,则
AB
CD
=______.

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如图,O,A,B是平面上的三点,向量
OA
=
a
OB
=
b
设P为线段AB的垂直平分线CP上任意一点,向量
OP
=
P
,若|
.
a
|=4,|
.
b
|=2,则
p
•(
a
-
b
)=(  )
A.1B.3C.5D.6

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

a
b
c
是单位向量,若
a
+
b
=
2
c
a
c
的值为(  )
A.
2
2
B.-
2
2
C.1D.-1

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

若向量
a
b
c
满足
a
+
b
+
c
=
0
,且|
a
|=3,|
b
|=1,|
c
|=4,则
a
b
+
b
c
+
c
a
=(  )
A.-5B.5C.-13D.13

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知
a
=
0,2
b
=
1,1
,则下列结论中正确的是(  )
A.(
a
-
b
)⊥
b
B.(
a
-
b
)⊥(
a
+
b
)
C.
a
b
D.|
a
|=|
b
|

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知|
OA
|=4,|
OB
|=6,
OC
=x
OA
+y
OB
,且x+2y=1,∠AOB是钝角,若f(t)=|
OA
-t
OB
|的最小值为2
3
,则|
OC
|的最小值是______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知直角坐标平面内的两个向量,使得平面内的任意一个向量都可以唯一的表示成,则的取值范围是        .

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知菱形的边长为,点分别在边上,
.若,则的值为________.

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