Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B = 90⁰，D为棱BB₁上一点，且面DA₁ C⊥面AA₁C₁C..

(1)求证：D为棱BB₁中点；

（2）为何值时，二面角A －A₁D － C的平面角为60⁰.

 

Answer 1

【答案】

（1）见解析    （2）＝ . 

【解析】(1) 过点D作DE ⊥ A₁ C 于E点，取AC的中点F，连BF ﹑EF.然后证明DE∥BF.进而证明四边形DEFB为平行四边形，从而证得D为BB₁的中点.

(2)本小题可以采用传统方法，也可以采用向量法.采用传统方法关键是找出二面角A －A₁D － C的平面角. 具体做法:延长A₁ D与直线AB相交于G，易知CB⊥面AA₁B₁B，过B作BH⊥A₁ G于点H，连CH，由三垂线定理知：A₁ G⊥CH，由此知∠CHB为二面角A －A₁D － C的平面角.

（1）过点D作DE ⊥ A₁ C 于E点，取AC的中点F，连BF ﹑EF.

∵面DA₁ C⊥面AA₁C₁C且相交于A₁ C，面DA₁ C内的直线DE ⊥ A₁ C

∴直线DE⊥面AA₁C₁C                        ………3分

又∵面BA C⊥面AA₁C₁C且相交于AC，易知BF⊥AC，∴BF⊥面AA₁C₁C由此知：DE∥BF ，从而有D，E，F，B共面，又易知BB₁∥面AA₁C₁C，故有DB∥EF ，从而有EF∥AA₁，又点F是AC的中点，所以DB ＝ EF ＝  AA₁ ＝  BB₁，

所以D点为棱BB₁的中点；             …………6分

（2）解法1：延长A₁ D与直线AB相交于G，易知CB⊥面AA₁B₁B，

过B作BH⊥A₁ G于点H，连CH，由三垂线定理知：A₁ G⊥CH，

由此知∠CHB为二面角A －A₁D － C的平面角；                     ………9分

设AA₁ ＝ 2b ，AB＝BC ＝；在直角三角形A₁A G中，易知 AB ＝ BG.

在DBG中，BH ＝  ＝ ，

在CHB中，tan∠CHB ＝  ＝ ，

据题意有： ＝ tan60⁰ ＝  ，解得：，所以 ＝ .…13分

(2)解法2：建立如图所示的直角坐标系，

设AA₁ ＝ 2b ，AB＝BC ＝ ，

则D（0,0,b）,  A₁ (a,0,2b),  C (0,a,0)

所以，         ………8分

设面DA₁C的法向量为则 

可取   平面AA₁DB的法向量

cos〈〉    ………10分

据题意有：，………………12分

解得： ＝