如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC为等腰直角三角形,∠B = 900,D为棱BB1上一点,且面DA1 C⊥面AA1C1C..
(1)求证:D为棱BB1中点;
(2)为何值时,二面角A -A1D - C的平面角为600.
(1)见解析 (2)= .
【解析】(1) 过点D作DE ⊥ A1 C 于E点,取AC的中点F,连BF ﹑EF.然后证明DE∥BF.进而证明四边形DEFB为平行四边形,从而证得D为BB1的中点.
(2)本小题可以采用传统方法,也可以采用向量法.采用传统方法关键是找出二面角A -A1D - C的平面角. 具体做法:延长A1 D与直线AB相交于G,易知CB⊥面AA1B1B,过B作BH⊥A1 G于点H,连CH,由三垂线定理知:A1 G⊥CH,由此知∠CHB为二面角A -A1D - C的平面角.
(1)过点D作DE ⊥ A1 C 于E点,取AC的中点F,连BF ﹑EF.
∵面DA1 C⊥面AA1C1C且相交于A1 C,面DA1 C内的直线DE ⊥ A1 C
∴直线DE⊥面AA1C1C ………3分
又∵面BA C⊥面AA1C1C且相交于AC,易知BF⊥AC,∴BF⊥面AA1C1C由此知:DE∥BF ,从而有D,E,F,B共面,又易知BB1∥面AA1C1C,故有DB∥EF ,从而有EF∥AA1,又点F是AC的中点,所以DB = EF = AA1 = BB1,
所以D点为棱BB1的中点; …………6分
(2)解法1:延长A1 D与直线AB相交于G,易知CB⊥面AA1B1B,
过B作BH⊥A1 G于点H,连CH,由三垂线定理知:A1 G⊥CH,
由此知∠CHB为二面角A -A1D - C的平面角; ………9分
设AA1 = 2b ,AB=BC =;在直角三角形A1A G中,易知 AB = BG.
在DBG中,BH = = ,
在CHB中,tan∠CHB = = ,
据题意有: = tan600 = ,解得:,所以 = .…13分
(2)解法2:建立如图所示的直角坐标系,
设AA1 = 2b ,AB=BC = ,
则D(0,0,b), A1 (a,0,2b), C (0,a,0)
所以, ………8分
设面DA1C的法向量为则
可取 平面AA1DB的法向量
cos〈〉 ………10分
据题意有:,………………12分
解得: =
科目:高中数学 来源: 题型:
如图,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA.
(I)求证:CD=C1D:
(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;
(Ⅲ)求点C到平面B1DP的距离.
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科目:高中数学 来源:2011年四川省招生统一考试理科数学 题型:解答题
(本小题共l2分)
如图,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一[来源:]
P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA.
(I)求证:CD=C1D:
(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;
(Ⅲ)求点C到平面B1DP的距离.
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科目:高中数学 来源:2011年高考试题数学理(四川卷)解析版 题型:解答题
(本小题共l2分)
如图,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一
P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA.
(I)求证:CD=C1D:
(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;
(Ⅲ)求点C到平面B1DP的距离.
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科目:高中数学 来源:四川省高考真题 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:
如图,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA.
(I)求证:CD=C1D:
(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;
(Ⅲ)求点C到平面B1DP的距离.
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