Question

已知椭圆E中心在原点O，焦点在x轴上，其离心率e=，过点C（-1，0）的直线l与椭圆E相交于A、B两点，且满足．
（Ⅰ）用直线l的斜率k（k≠0）表示△OAB的面积；
（Ⅱ）当△OAB的面积最大时，求椭圆E的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设椭圆E的方程为（a＞b＞0），直线的方程为y=k（x+1），由e=可得a，b之间的关系，由，得（-1-x₁，-y₁）=2（x₂+1，y₂），结合二次方程有根及方程的根与系数的关系及S=|y₁-y₂|代入可求；
（Ⅱ）由（I）可得，结合基本不等式可求
解答：解：（Ⅰ）设椭圆E的方程为（a＞b＞0），直线的方程为y=k（x+1）
由e=∴a²=3b²
故椭圆方程x²+3y²=3b²                                 …（1分）
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）），由，
得（-1-x₁，-y₁）=2（x₂+1，y₂）
可得…（2分）
由消去y整理（1+3k²）x²+6k²x+3（k²-b²）=0（3分）
                              
由直线l与椭圆E相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点?
∴…（4分）
而S△OAB=|y₁-y₂|=|-2y₂-y₂|=|y₂|=|k（x₂+1）|⑥…（6分）
由①④得：x₂+1=-，代入⑥得：S△OAB=    …（7分）
（Ⅱ）因S△OAB=，…（8分）
当且仅当，S△OAB取得最大值，…（9分）
此时x₁+x₂=-1，又由①得=-1
∴x₁=1，x₂=-2                                               …（10分）
将x₁，x₂及k²=代入⑤得3b²=5，满足△＞0                      …（11分）
∴椭圆方程为x²+3y²=5                                    …（12分）
点评：本题主要考查了由椭圆的性质求解椭圆的方程，直线与椭圆的相交的位置关系的应用，方程的根与系数的关系的应用，属于综合性试题