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f(n)=logn+1(n+2)(n∈N*).如果对k(k∈N*),满足f(1)•f(2)•…•f(k)为整数,则称k为“好数”,那么区间[1,2012]内所有的“好数”的和S=
2026
2026
分析:先利用换底公式与叠乘法把f(1)•f(2)•…•f(k)化为log2(k+2);然后根据f(1)•f(2)•…•f(k)为整数,可得k=2n-2;由此求得[1,2011]内所有的“好数”的和 S=(22-2)+(23-2)+(24-2)+…+(210-2)的值.
解答:解:∵f(n)=logn+1(n+2)=
lg(n+2)
lg(n+1)
,(n∈N*),
∴f(1)f(2)f(3)…f(n)=
lg3
lg2
lg4
lg3
lg5
lg4
lg(n+2)
lg(n+1)
=
lg(n+2)
lg2
=log2(k+2).
又∵f(1)•f(2)•…•f(k)为整数,∴k+2必须是2的n次幂(n∈N*),即k=2n-2.
∴[1,2011]内所有的“好数”的和为 S=(22-2)+(23-2)+(24-2)+…+(210-2)
=22 +23+24+…+2n-2×9=
4(1-29)
1-2
-2×9=2026,
故答案为 2026.
点评:本题在理解新定义的基础上,考查换底公式、叠乘法及等比数列前n项和公式,其综合性、技巧性是比较强的,属于基础题.
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