【题目】已知函数f(x)=sin(2x+φ)+2sin2x(|φ|< )的图象过点(
,
).
(1)求函数f(x)在[0, ]的最小值;
(2)设角C为锐角,△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,若x=C是曲线y=f(x)的一条对称轴,且△ABC的面积为2 ,a+b=6,求边c的长.
【答案】
(1)解:函数f(x)=sin(2x+φ)+2sin2x,
∵图象过点( ,
).
∴ =sin(2×
+φ)+2sin2
,
得:sin( +φ)=1,
∴ +φ=
,k∈Z,
∵|φ|< ,
∴φ= .
∴函数f(x)=sin(2x+ )+2sin2x=
sin2x+
cos2x+1﹣cos2x=sin(2x﹣
)+1.
∵x∈[0, ],
∴2x﹣ ∈[
,
].
∴当2x﹣ =
时,f(x)取得最小值为
(2)解:由(1)可得f(x)=sin(2x﹣ )+1.
其对称轴方程为:2x﹣ =
,k∈Z,
∵x=C是曲线y=f(x)的一条对称轴,即2C﹣ =
,C为锐角,k∈Z,
∴C= .
又∵△ABC的面积为2 =
absinC,
可得ab=8,a+b=6.
由余弦定理:c2=a2+b2﹣2abcosC,得:c2=(a+b)2﹣2ab﹣2abcosC=12
∴c=2
【解析】(1)图象过点( ,
).求出φ,利用二倍角、和与差和辅助角公式化简f(x),将内层函数作为整体,求出范围,即可得f(x)在[0,
]的最小值;(2)求出f(x)的对称轴,可得出C(注意C为锐角),根据△ABC的面积为2
,a+b=6,利用余弦定理求出
边c的长.
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【题目】已知圆C:(x﹣1)2+(y﹣3)2=2被y轴截得的线段AB与被直线y=3x+b所截得的线段CD的长度相等,则b等于( )
A.±
B.±
C.±2
D.±
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【题目】在直角坐标系中,已知圆
圆心为
,过点
且斜率为
的直线与圆
相交于不同的两点
、
.
()求
的取值范围;
()是否存在常数
,使得向量
与
共线?如果存在,求
值;如果不存在,请说明理由.
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【题目】已知x=﹣3,x=1是函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的两个相邻的极值点,且f(x)在x=﹣1处的导数f'(﹣1)>0,则f(0)=( )
A.0
B.
C.
D.
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【题目】在公差不为0的等差数列{an}中,a22=a3+a6 , 且a3为a1与a11的等比中项.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=(﹣1)n ,求数列{bn}的前n项和Tn .
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【题目】已知右焦点为F的椭圆C: +
=1(a>b>0)过点M(1,
),直线x=a与抛物线L:x2=
y交于点N,且
=
,其中O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线l与椭圆C交于A、B两点.
①若直线l与x轴垂直,过点P(4,0)的直线PB交椭圆C于另一点E,证明直线AE与x轴相交于定点;
②已知D为椭圆C的左顶点,若l与直线DM平行,判断直线MA,MB是否关于直线FM对称,并说明理由.
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【题目】设等差数列{an}的前n项和为Sn , 且S4=4S2 , a2n=2an+1.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式
(Ⅱ)设数列{bn}的前n项和为Tn , 且 (λ为常数).令cn=b2n , (n∈N*),求数列{cn}的前n项和Rn .
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【题目】若x1 , x2 , …,x2017的平均数为4,标准差为3,且yi=﹣3(xi﹣2),i=x1 , x2 , …,x2017 , 则新数据y1 , y2 , …,y2017的平均数和标准差分别为( )
A.﹣6 9
B.﹣6 27
C.﹣12 9
D.﹣12 27
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,椭圆 的离心率为
,直线y=x被椭圆C截得的线段长为
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过原点的直线与椭圆C交于两点(A,B不是椭圆C的顶点),点D在椭圆C上,且AD⊥AB,直线BD与x轴、y轴分别交于M,N两点.设直线BD,AM斜率分别为k1 , k2 , 证明存在常数λ使得k1=λk2 , 并求出λ的值.
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