Question

已知定义在R上的函数f(x)对任意实数 , 满足关系f( + )=f( )+f( )+2.
　　(1)证明:f(x)的图象关于点(0,－2)对称.　　(2)若x>0,则有f(x)>－2,求证:f(x)在R上为增函数.
　　(3)若数列 满足 =－ ,且对任意n∈N有 =f(n),试求数列 的前n项和 .

Answer 1

解析：(1)证明:在已知恒等式中令 = =0得f(0)=－2①  又已知恒等式中令 =x, =－x得f(0)=f(x)+f(－x)+2
　　∴f(x)+f(－x)=－4 ②　　设M(x,f(x))为y=f(x)的图象上任意一点则由②得③
　　∴由③知点M(x,f(x))与N(－x,f(－x))所成线段MN的中点坐标为(0,－2),　∴点M与点N关于定点(0,－2)对称.　 ④
　　注意到点M在y=f(x)图象上的任意性,又点N亦在y=f(x)的图象上,故由④知y=f(x)的图象关于点(0,－2)对称.
　　(2)证明:设 , 为任意实数,且 < ,则 － >0　∴由已知得f( － )>－2　　⑤
　　注意到 =( － )+ 由本题大前提中的恒等式得 f( )=f[( － )+ ] =f( － )+ f( )+2
　∴f( )－f( )=f ( － )+2　⑥　又由⑤知f ( － )+2>0,　∴由⑥得f( )－f( )>0,即f( )>f( ).
　　于是由函数的单调性定义知,f(x)在R上为增函数.
　　(3)解:　∵a_n=f(n),　∴a₁=f(1)=－ ,　　 a_n+1=f(n+1)
　　又由已知恒等式中令 =n, =1得　f(n+1)=f(n)+f(1)+2　∴a_n+1= a_n+ 　∴a_n+1－a_n= (n∈N)
由此可知,数列{ a_n }是首项为 =－ ,公差为 的等差数列.　∴ =－ n+ × 即 = (n²－11n).