Question

【题目】在平面直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数， ），以为极点， 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）求已知曲线和曲线交于两点，且，求实数的值.

Answer 1

【答案】(1) ， ；(2) 或.

【解析】试题分析: （Ⅰ）根据加减相消法将曲线参数方程化为普通方程，利用将曲线（Ⅱ）先将直线参数方程转化为（为参数， ），再根据直线参数方程几何意义由得，最后将直线参数方程代入，利用韦达定理得关于的方程，解得的值.

试题解析: （Ⅰ）曲线参数方程为,∴其普通方程，

由曲线的极坐标方程为,∴

∴,即曲线的直角坐标方程.

（Ⅱ）设、两点所对应参数分别为，联解得

要有两个不同的交点，则,即，由韦达定理有

根据参数方程的几何意义可知，

又由可得，即或

∴当时，有，符合题意．

当时，有，符合题意．

综上所述，实数的值为或．