Question

已知f（x）=cosx-cos（x+

π

3

）．
（1）求函数f（x）在区间，[

π

6

，

π

2

]上的最小值和最大值；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且f（A）=1，△ABC的面积为S=6

3

，b=4，求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为 sin（x+

π

6

），根据

π

6

≤x≤

π

2

，

π

3

≤x+

π

6

≤

2π

3

，求出f（x）在区间[

π

6

，

π

2

]上的最值．
（2）由f（A）=1求得A=

π

3

，根据S=6

3

求出c=6，再利用余弦定理求出a的值．

解答：解：（1）f（x）=cosx-cos（x+

π

3

）=

1

2

cosx+

3

2

sinx=sin（x+

π

6

）．（2分）
因为

π

6

≤x≤

π

2

，∴

π

3

≤x+

π

6

≤

2π

3

，

3

2

≤sin（x+

π

6

）≤1．（5分）
所以f（x）在区间[

π

6

，

π

2

]上的最小值为

3

2

，最大值为1．（6分）
（2）因为f（A）=1，所以 sin（A+

π

6

）=1，因为 0＜A＜π，所以A=

π

3

．（8分）
由△ABC的面积为S=6

3

=

1

2

bc•sinA，解得c=6．（10分）
∵b=4，
∴a=

b2+c2-2bc•cosA

=2

7

．    （12分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，余弦定理的应用，属于中档题．