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如图:已知椭圆A,B,C是长轴长为4的椭圆上三点,点A是长轴的一个端点,BC过椭圆的中心O,且
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)如果椭圆上两点P,Q使得直线CP,CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形,是否总存在实数λ使?请给出证明.

【答案】分析:(Ⅰ)设椭圆的标准方程,根据长轴求得a,点A是长轴的一个顶点可求得A的坐标.根据判断△AOC是等腰直角三角形,进而求得C的坐标代入椭圆的方程求得b,最后可得椭圆的方程.
(Ⅱ)设直线PC的方程与椭圆方程联立,消元后根据△>0判断k的范围.设点P(x1,y1)由韦达定理可求得x1和y1关于k的表达式,直线CP、CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形推断直线CP、CQ的斜率互为相反数,进而得到k的范围,同样的设点Q(x2,y2),根据韦达定理求得x2和y2关于k的表达式,根据椭圆是中心对称图形求得点B的坐标,根据关系得证.
解答:解:(Ⅰ)设椭圆方程为
∵椭圆的长轴长为4,
∴a=2,
∵点A是长轴的一个顶点,
∴A(2,0),

∴△AOC是等腰直角三角形,从而C(1,1),
代入椭圆方程得
∴椭圆方程为

(Ⅱ)设直线lPC:y=kx+1-k(k≠0)
与椭圆方程联立得到(3k2+1)x2+6k(1-k)x+3(1-k)2-4=0
则△=[6k(1-k)]2-4(3k2+1)[3(k-1)2-4]=4(3k+1)2>0从而且k≠0
设点P(x1,y1),而C(1,1),由韦达定理知
代回lPC:y=kx+1-k得到
∵直线CP、CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形
∴直线CP、CQ的斜率互为相反数,即且k≠0
故设点Q(x2,y2),同理可知
所以
∵椭圆是中心对称图形
∴B(-1,-1),
,即总存在实数λ使
点评:本题主要考查了椭圆的标准方程和平面向量的知识.能考查学生综合运用所学知识的能力.
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图:已知椭圆A,B,C是长轴长为4的椭圆上三点,点A是长轴的一个端点,BC过椭圆的中心O,且
AC
BC
=0,|
BC
|=2|
AC
|

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)如果椭圆上两点P,Q使得直线CP,CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形,是否总存在实数λ使
PQ
AB
?请给出证明.

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