Question

已知函数f（x）=

1

2x-1

+

1

2

．
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（Ⅱ）若对于任意x∈[2，4]，不等式f(

x+1

x-1

)＜f(

m

(x-1)2(7-x)

)恒成立，求正实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的性质,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）求出原函数的定义域，然后利用f（-x）=-f（x）证明函数为奇函数；
（Ⅱ）利用导数证明函数为减函数，把要求解的不等式转化为

x+1

x-1

＞

m

(x-1)2(7-x)

，分离变量m后再利用导数求得函数的最大值，则正实数m的取值范围可求．

解答： 解：（Ⅰ）f （x）在定义域上是奇函数．
证明：由2^x-1≠0，得x∈R且x≠0，
∴函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
当x∈（-∞，0）∪（0，+∞）时，f(x)=

1

2x-1

+

1

2

=

2x+1

2(2x-1)

，
f(-x)=

2-x+1

2(2-x-1)

=

1+2x

2(1-2x)

，
∴f（-x）=-f（x），
∴f （x）在定义域上是奇函数；

（Ⅱ）由于f′(x)=-

2xln2

(2x-1)2

，
当x∈（-∞，0）或x∈（0，+∞）时，f′(x)=-

2xln2

(2x-1)2

＜0恒成立，
∴f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上是减函数，
∵x∈[2，4]且m＞0，
∴

x+1

x-1

＞0，

m

(x-1)2(7-x)

＞0，
由f(

x+1

x-1

)＜f(

m

(x-1)2(7-x)

)及f（x）在（0，+∞）上是减函数，
∴

x+1

x-1

＞

m

(x-1)2(7-x)

，
∵x∈[2，4]，
∴m＜（x+1）（x-1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立．
设g（x）=（x+1）（x-1）（7-x），x∈[2，4]，
则g（x）=-x³+7x²+x-7，
∴g′（x）=-3x²+14x+1=-3(x-

7

3

)2+

52

3

，
∴当x∈[2，4]时，g′（x）＞0．
∴y=g（x）在[2，4]上是增函数，g（x）_min=g（2）=15．
综上知符合条件的m的取值范围是（0，15）．

点评：本题考查了函数奇偶性的判断与证明，考查了利用导数研究函数的单调性，训练了利用函数的单调性的性质求解不等式，体现了数学值思想方法，是压轴题．