Question

三棱台是一种重要的多面体，对于图中A₁B₁C₁－ABC，请思考如下问题：

(1)三条侧棱所在的直线一定相交于一点吗？

(2)棱台的侧面是什么样的特殊四边形？

(3)两底面△A₁B₁C₁与△ABC是否具有相似的关系？

若A₁B₁∶AB＝2∶3，求．

任意一个棱台的上下底面多边形都是相似多边形吗？(注：这里的两个多边形相似是指它们的对应边分别成比例，对应角分别相等)

(4)若A₁B₁＝AB，则此时的三棱台A₁B₁C₁－ABC可演变成什么样的几何体？

若A₁、B₁、C₁三点收缩为一点(记为P)，则此时的三棱台A₁B₁C₁－ABC即P－ABC又演变成了什么样的几何体？

(5)如果几何体A₁B₁C₁－ABC满足△A₁B₁C₁与△ABC相似但不全等，那么这个几何体一定是三棱台吗？

Answer 1

答案：
解析：

由棱柱、棱锥、棱台的定义，我们可以知道它们之间有如下关系： 　　又根据定义，棱台与棱锥有很密切的关系，在思考棱台的性质时常常要考虑这一关系．下面我们对以上问题做如下思考： 　　(1)根据定义，棱台是棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分．所以我们可将三条棱台的侧棱延长得到一个三棱锥，从而三条侧棱所在的直线相交于一点． 　　(2)也是根据定义，棱台的侧面应该是三角形被平行于底边的直线所截后，截线和底线之间的部分，这是一个梯形． 　　(3)由于三棱台两底面对应边互相平行，容易得到它们的对应角相等，所以上下底面是相似的多边形．由相似多边形的知识可知棱台上下底面面积比等于相似比的平方，即＝4∶9． 　　(4)当A1B1＝AB，上下底面是全等多边形时，棱台变化成棱柱；当棱台的一个底面缩为一个点时，棱台变为棱锥． 　　(5)我们考虑将三棱柱的上底面旋转一个角度后的情况，此时仍满足上下底面相似但不全等，但形成的图形可能已经不是一个三棱柱了．我们有结论：当不全等的两相似三角形位置摆法不“正”时，不是三棱台．