Question

2．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），过点B（0，b）作圆x²+y²=$\frac{{b}^{2}}{4}$的两条切线BM、BN，切点分别为点M和N，若$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$=$\frac{3}{8}$，且该椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，点O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点F₁、F₂分别是椭圆C的左右焦点，四个顶点都在椭圆C上的平行四边形PQIJ的两条对边PQ、IJ分别经过点F₁、F₂，求平行四边形PQIJ面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意∠MBN=60°，BM=BN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，利用$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$=$\frac{3}{8}$，求出b，椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得a，c，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）由题意，平行四边形PQIJ面积最大时，平行四边形PQIJ为矩形，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）由题意∠MBN=60°，BM=BN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，
∵$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$=$\frac{3}{8}$，
∴$\frac{3}{4}{b}^{2}•\frac{1}{2}$=$\frac{3}{8}$，
∴b=1，
∵椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴c=1，a=$\sqrt{2}$，
∴椭圆C的方程是$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1由题意；
（Ⅱ）由题意，平行四边形PQIJ面积最大时，平行四边形PQIJ为矩形，
∵x=1时，y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴平行四边形PQIJ面积的最大值为2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查向量知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．