Question

11．已知命题p：对于a∈[-2，$\sqrt{5}$]，不等式|m-1|≤$\sqrt{{a}^{2}+4}$恒成立，命题q：不等式x²+mx+m＜0有解，若p∨q为真，且p∧q为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 先求出关于p，q的m的范围，根据p∨q为真，且p∧q为假，p与q必有一真一假，得到不等式组，解出即可．

解答 解：∵a∈[-2，$\sqrt{5}$]，
∴$\sqrt{{a}^{2}+4}$∈[2，3]．
∵对于a∈[-2，$\sqrt{5}$]，不等式|m-1|≤$\sqrt{{a}^{2}+4}$恒成立，可得|m-1|≤2，
∴p：-1≤m≤3． …（2分）
又命题q：x²+mx+m＜0有解，
∴△=m²-4m＞0，解得 m＜0或m＞4．  …（4分）
∵p∨q为真，且p∧q为假，
∴p与q必有一真一假．  …（5分）
当p真q假时，有$\left\{\begin{array}{l}{-1≤m≤3}\\{0≤m≤4}\end{array}\right.$即0≤m≤3；…（7分）
当p假q真时，有$\left\{\begin{array}{l}{m＜-1或m＞3}\\{m＞4或m＜0}\end{array}\right.$即m＜-1或m＞4．…（9分）
综上，实数m的取值范围是：（-∞，-1）∪[0，3]∪（4，+∞）．…（10分）

点评 本题考查了函数恒成立问题，考查复合命题的判断，是一道中档题．