Question

【题目】如图已知四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 6 的正方形，侧棱 PA 的长为 8，且垂直于底面，点 M . N 分别是 DC .AB 的中点。

求：（1）异面直线 PM 与 CN 所成角的正切值；

（2）四棱锥 P ABCD 的表面积.

Answer 1

【答案】（1）（2）144

【解析】

（1）解法 一：连接AM，∵底面ABCD是边长为6的正方形，点M、N分别是DC、AB的中点，可得，于是四边形AMCN是平行四边形，可得CN∥AM，因此∠PMA（为锐角）是异面直线PM与CN所成角，利用直角三角形的边角关系求出即可；

解法二：以A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量的夹角公式即可得出异面直线所成的角；

（2）由PA垂直于底面，利用线面垂直的性质定理可得PA⊥AB，PA⊥AD，即Rt△PAB≌Rt△PDC，再利用线面垂直的判定定理可得BC⊥PB；同理CD⊥PD，Rt△PBC≌Rt△PAD，利用直角三角形的面积计算公式分别计算即可．

解：（1）解法 一：连接AM，∵底面ABCD是边长为6的正方形，点M、N分别是DC、AB的中点，

∴，

∴四边形AMCN是平行四边形，

∴CN∥AM，

∴∠PMA（为锐角）是异面直线PM与CN所成角．

因为PA垂直于底面，所以PA⊥AM，

点M分别是DC的中点，DC＝6，∴．

在Rt△PAM中，PA＝8，，

∴，

即异面直线PM与CN所成角的正切值为．

解法二：以A为坐标原点建立空间直角坐标系，

可得M（3，6，0），P（0，0，8），N（3，0，0），C（6，6，0），

∴，，

直线PM与CN所成角为θ，向量的夹角为，

∵，

又，

即异面直线PM与CN所成角的正切值为．

（2）因为PA垂直于底面，所以PA⊥AB，PA⊥AD，即Rt△PAB≌Rt△PAD，

又PA⊥BC，AB⊥BC，AB∩BC＝B，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB．

同理CD⊥PD，∴Rt△PBC≌Rt△PDC，

∵底面四边形ABCD是边长为6的正方形，所以S＝36

又S侧＝S△PAB+S△PAD+S△PBC+S△PCD．

S表＝108+36＝144

所以四棱锥P﹣ABCD的表面积是144．