Question

已知f（x）=ln（1+x²）+ax（a≤0）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性．
（Ⅱ）证明：（1+）•（1+）•…•（1+）＜e（n∈N^*，n≥2，其中无理数e=2.71828…）

Answer 1

解：（Ⅰ）f′（x）=-+a=
当a=0时，f′（x）=＞0?x＞0
∴f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∝，0）单调递减．
当a＜0且ax²+2x+a=0的判别式△≤0，
即a≤-1时，f′（x）≤0对x∈R恒成立．
∴f（x）在R上单调递减．
当-1＜a＜0时，由f′（x）＞0得：ax²+2x+a＞0
解得：
由f′（x）＜0可得：x＞或x＜
∴f（x）在[，]上单调递增，
在（-∝，]，[，+∞）上单调递减．
（Ⅱ）由（Ⅰ）当a=-1时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减．
当x＞0时f（x）＜f（0）
∴ln（1+x²）-x＜0，即ln（1+x²）＜x
∴ln[（1+）•（1+）…（1+）]
=ln（1+）•（1+）…（1+）＜
＜=（1-）+（-）+…+（）=1-＜1
∴（1+）•（1+）…（1+）＜e．
分析：（I）先求导数fˊ（x），讨论a的与0和-1的大小，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函数f（x）的单调区间；
（II）先根据a=-1时，f（x）的单调性得到ln（1+x²）＜x，然后利用该不等式得到ln[（1+）•（1+）…（1+）]＜，最后利用放缩法进行化简，利用裂项法进行求和即可证得结论．
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调区间，以及分类讨论的数学思想，放缩法和裂项求和法的应用，属于中档题．