Question

在平面直角坐标系中，已知抛物线y²=2px（p＞0），过定点A（p，0）作直线交该抛物线于M、N两点．
（I）求弦长|MN|的最小值；
（II）是否存在平行于y轴的直线l，使得l被以AM为直径的圆所截得的弦长为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线MN：x=my+p，当m=0时，|MN|=2

2

p；当m≠0时，联立y²=2px与x=my+p，得y²-2mpy-2p²=0?

y1+y2=2mp y1y2=-2p2

?|MN|=2p

(m2+1)(m2+2)

＞2

2

p．由此能求出弦长|MN|的最小值．
（II）设存在平行于y轴的直线l，方程为x=t，M（x₁，y₁），圆心为C（x₀，y₀），l被圆C截得的弦长为q，则由圆的几何性质可得q=2

( |MA| 2 )2-(x0-t)2

=2

(x1-p)2+ y 2 1 4 -( x1+p 2 -t)2

=2

(t- p 2 )x1+pt-t2

．由此能求出存在直线l，其方程为x=

p

2

．

解答：解：（I）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
直线MN：x=my+p
①当m=0时，|MN|=2

2

p
②当m≠0时，联立y²=2px与x=my+p
得y²-2mpy-2p²=0?

y1+y2=2mp y1y2=-2p2

?|MN|=2p

(m2+1)(m2+2)

＞2

2

p
比较①②知|MN|min=2

2

p（6分）
（II）设存在平行于y轴的直线l，方程为x=t，M（x₁，y₁），圆心为C（x₀，y₀）
l被圆C截得的弦长为q，则由圆的几何性质可得：
q=2

( |MA| 2 )2-(x0-t)2

=2

(x1-p)2+ y 2 1 4 -( x1+p 2 -t)2

=2

(t- p 2 )x1+pt-t2

当t=

p

2

时，q=p为定值
故存在这样的直线l，其方程为x=

p

2

（12分）

点评：本题考查弦长的计算和直线与抛物线位置关系的综合运用，解题时要注意分类讨论思想和弦长公式的合理运用，注意合理地进行等价转化．