Question

11．已知球面上的四点P、A、B、C，PA、PB、PC的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，则这个球的体积为（　　）

• A． $\frac{{1000\sqrt{2}}}{3}π$
• B． $\frac{{375\sqrt{2}}}{16}π$
• C． 50π
• D． $\frac{{125\sqrt{2}}}{3}π$

Answer 1

分析 由题意知球面上的四点P、A、B、C是长方体的一个角，扩展为长方体，长方体的对角线就是外接球的直径，求出直径即求出外接球的体积．

解答 解：球面上的四点P、A、B、C，又PA、PB、PC的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，是长方体的一个角，
扩展为长方体，两者的外接球相同，长方体的对角线长为l=$\sqrt{9+16+25}$=5$\sqrt{2}$，外接球的半径为R=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$；
∴球的体积为：V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$\frac{125\sqrt{2}}{3}π$．
故选D．

点评 本题考查了四面体的外接球体积的求法问题，解题时把四面体扩展为长方体，长方体的对角线就是球的直径．