Question

（2012•山东）已知双曲线C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的离心率为2．若抛物线C2：x2=2py(p＞0)的焦点到双曲线C₁的渐近线的距离为2，则抛物线C₂的方程为（　　）

• A．x2=

  8 3

  3

  y
• B．x²=

  16 3

  3

  y
• C．x²=8y
• D．x²=16y

Answer 1

分析：利用双曲线的离心率推出a，b的关系，求出抛物线的焦点坐标，通过点到直线的距离求出p，即可得到抛物线的方程．

解答：解：双曲线C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的离心率为2．
所以

c

a

=2，即：

a2+b2

a2

=4，所以

b2

a2

=3；双曲线的渐近线方程为：

x

a

-

y

b

=0
抛物线C2：x2=2py(p＞0)的焦点（0，

p

2

）到双曲线C₁的渐近线的距离为2，
所以2=

| p 2b |

( 1 a )2+( 1 b )2

，因为

b2

a2

=3，所以p=8．
抛物线C₂的方程为x²=16y．
故选D．

点评：本题考查抛物线的简单性质，点到直线的距离公式，双曲线的简单性质，考查计算能力．