Question

如图所示的多面体中，EF丄平面AEB，AE丄EB，AD∥EF，BC∥EF，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点
（1）求证：BD丄EG；
（2）求平面DEG与平面DEF所成二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）先证明EB，EF，EA两两垂直，以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x，y，z，建立空间直角坐标系，证明

BD

•

EG

=0，即可证明BD丄EG；
（2）

EB

=(2，0，0)是平面DEF的法向量，平面DEG的法向量为

n

=(1，-1，1)，利用数量积公式，即可得到平面DEG与平面DEF所成二面角．

解答：（1）证明：∵EF丄平面AEB，AE?平面AEB，BE?平面AEB
∴EF⊥AE，EF⊥BE
∵AE丄EB，∴EB，EF，EA两两垂直
以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x，y，z，建立如图所示的空间直角坐标系，则E（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，2），G（2，2，0）
∴

EG

=(2，2，0)，

BD

=(-2，2，2)
∴

BD

•

EG

=0
∴BD丄EG；
（2）解：已知得

EB

=(2，0，0)是平面DEF的法向量
设平面DEG的法向量为

n

=(x，y，z)，∵

EG

=(2，2，0)，

ED

=(0，2，2)
∴

2x+2y=0 2y+2z=0

，∴可取

n

=(1，-1，1)
设平面DEG与平面DEF所成二面角θ
∴cosθ=

2

2× 3

=

3

3

∴平面DEG与平面DEF所成二面角为arccos

3

3

．

点评：本题考查线线垂直，考查面面角，解题的关键是建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，属于中档题．