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(本小题满分16分)如图,是椭圆的左、右顶点,椭圆的离心率为,右准线的方程为.

(1)求椭圆方程;
(2)设是椭圆上异于的一点,直线于点,以为直径的圆记为.
①若恰好是椭圆的上顶点,求截直线所得的弦长;
②设与直线交于点,试证明:直线轴的交点为定点,并求该定点的坐标.

(1) (2) ①②见解析

解析试题分析:(1)由,解得,故所求椭圆的方程为…………………4分
(2)①因为,所以直线的方程为,则点P的坐标为,
从而的方程为,即其圆心为,半径为………… 6分
又直线的方程为,故圆心到直线的距离为 ………8分
从而截直线所得的弦长为……………10分
②证:设,则直线的方程为,则点P的坐标为,
又直线的斜率为,而,所以,
从而直线的方程为……………………………13分
,得点R的横坐标为………………………14分
又点M在椭圆上,所以,即,故,
所以直线轴的交点为定点,且该定点的坐标为……………………16分
考点:椭圆性质,直线与圆椭圆的位置关系
点评:本题计算量大,对学生的数据处理能力要求较高

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

(本小题满分13分)已知点分别为椭圆的左、右焦点,点为椭圆上任意一点,到焦点的距离的最大值为.
(1)求椭圆的方程。
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已知双曲线的离心率,过的直线到原点的距离是 
(1)求双曲线的方程;
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已知圆过椭圆的两焦点,与椭圆有且仅有两个与圆相切 ,与椭圆相交于两点记
(1)求椭圆的方程
(2)求的取值范围;
(3)求的面积S的取值范围.

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(本小题满分13分)已知椭圆的中心在原点,焦点轴上,经过点,且抛物线的焦点为.
(1) 求椭圆的方程;
(2) 垂直于的直线与椭圆交于,两点,当以为直径的圆轴相切时,求直线的方程和圆的方程.

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解答题(本题共10分.请写出文字说明, 证明过程或演算步骤):
已知是椭圆上一点,是椭圆的两焦点,且满足
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)设是椭圆上任两点,且直线的斜率分别为,若存在常数使,求直线的斜率.

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求与椭圆有共同焦点,且过点(0,2)的双曲线方程,并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程.

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(12分)抛物线的顶点在坐标原点,焦点在轴的负半轴上,过点作直线与抛物线交于A,B两点,且满足,
(1)求抛物线的方程
(2)当抛物线上的一动点P从A运动到B时,求面积的的最大值.

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(12分)双曲线的离心率等于,且与椭圆有公共焦点,
①求此双曲线的方程.
②若抛物线的焦点到准线的距离等于椭圆的焦距,求该抛物线方程.

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