(本小题满分16分)如图,是椭圆的左、右顶点,椭圆的离心率为,右准线的方程为.
(1)求椭圆方程;
(2)设是椭圆上异于的一点,直线交于点,以为直径的圆记为.
①若恰好是椭圆的上顶点,求截直线所得的弦长;
②设与直线交于点,试证明:直线与轴的交点为定点,并求该定点的坐标.
(1) (2) ①②见解析
解析试题分析:(1)由,解得,故所求椭圆的方程为…………………4分
(2)①因为,所以直线的方程为,则点P的坐标为,
从而的方程为,即其圆心为,半径为………… 6分
又直线的方程为,故圆心到直线的距离为 ………8分
从而截直线所得的弦长为……………10分
②证:设,则直线的方程为,则点P的坐标为,
又直线的斜率为,而,所以,
从而直线的方程为……………………………13分
令,得点R的横坐标为………………………14分
又点M在椭圆上,所以,即,故,
所以直线与轴的交点为定点,且该定点的坐标为……………………16分
考点:椭圆性质,直线与圆椭圆的位置关系
点评:本题计算量大,对学生的数据处理能力要求较高
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分13分)已知点分别为椭圆的左、右焦点,点为椭圆上任意一点,到焦点的距离的最大值为.
(1)求椭圆的方程。
(2)点的坐标为,过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点。对于任意的是否为定值?若是求出这个定值;若不是说明理由。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知双曲线的离心率,过的直线到原点的距离是
(1)求双曲线的方程;
(2)已知直线交双曲线于不同的点C,D且C,D都在以B为圆心的圆上,求k的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分13分)已知椭圆的中心在原点,焦点,在轴上,经过点,,且抛物线的焦点为.
(1) 求椭圆的方程;
(2) 垂直于的直线与椭圆交于,两点,当以为直径的圆与轴相切时,求直线的方程和圆的方程.
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解答题(本题共10分.请写出文字说明, 证明过程或演算步骤):
已知是椭圆上一点,,是椭圆的两焦点,且满足
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)设、是椭圆上任两点,且直线、的斜率分别为、,若存在常数使,求直线的斜率.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(12分)抛物线的顶点在坐标原点,焦点在轴的负半轴上,过点作直线与抛物线交于A,B两点,且满足,
(1)求抛物线的方程
(2)当抛物线上的一动点P从A运动到B时,求面积的的最大值.
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