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    已知椭圆C过点是椭圆的左焦点，P、Q是椭圆C上的两个动点，且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。

    （1）求椭圆C的标准方程；

    （2）求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；

    （3）设点A关于原点O的对称点是B，求|PB|的最小值及相应点P的坐标。

    （1）（2）（3）


    解析:

    （1）设椭圆的方程为，由已知，得，解得

    所以椭圆的标准方程为   …………3分

    （2）证明：设。由椭圆的标准方程为，可知

    同理………4分

    ∵，∴

    ∴…………5分

    ①当时，由，得

    从而有

    设线段的中点为，由         …………6分

    得线段的中垂线方程为…………7分

    ∴，该直线恒过一定点…………8分

    ②当时，或

    线段的中垂线是轴，也过点，

    ∴线段的中垂线过点…………10分

    （3）由，得。

    又，∴

    …………12分

    ∴时，点的坐标为…………14分

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