Question

定义变换T：可把平面直角坐标系上的点P（x，y）变换到这一平面上的点P′（x′，y′）．特别地，若曲线M上一点P经变换公式T变换后得到的点P'与点P重合，则称点P是曲线M在变换T下的不动点．
（1）若椭圆C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，且焦距为，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2．求该椭圆C的标准方程．并求出当时，其两个焦点F₁、F₂经变换公式T变换后得到的点F_1^′和F₂^′的坐标；
（2）当时，求（1）中的椭圆C在变换T下的所有不动点的坐标；
（3）试探究：中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线在变换T：（，k∈Z）下的不动点的存在情况和个数．

Answer 1

【答案】分析：（1）设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），求出c，a，b然后结合定义变换T，求出点F_1^′和F₂^′的坐标．
（2）时，利用（1）中的椭圆C在变换T下，点P（x，y）∈C，根据椭圆方程求出的不动点的坐标；
（3）设P（x，y）是双曲线在变换下的不动点，推出，设双曲线方程为（mn＜0），代入，推出 讨论mn＜0，故当时，方程无解；
当时，要使不动点存在，则需，
因为mn＜0，故当时，双曲线在变换T下一定有2个不动点，否则不存在不动点．
进一步分类：
（i）当n＜0，m＞0下一定有2个不动点；
（ii）当n＞0，m＜0时，双曲线在变换T下一定有2个不动点．
解答：解：（1）设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），
由椭圆定义知焦距，即a²-b²=2①．
又由条件得a²+b²=4②，故由①、②可解得a²=3，b²=1．
即椭圆C的标准方程为．
且椭圆C两个焦点的坐标分别为和．
对于变换T：，当时，
可得
设F₁^′（x₁，y₁）和F₂^′（x₂，y₂）分别是由和的坐标由变换公式T变换得到．于是，，即F₁^′的坐标为；
又即F₂^′的坐标为．
（2）设P（x，y）是椭圆C在变换T下的不动点，则当时，
有⇒x=3y，由点P（x，y）∈C，即P（3y，y）∈C，
得：，因而椭圆
的不动点共有两个，分别为和．
（3）设P（x，y）是双曲线在变换
下的不动点，则由⇒
因为，k∈Z，故．
不妨设双曲线方程为（mn＜0），由代入得
则有，
因为mn＜0，故当时，方程无解；
当时，要使不动点存在，则需，
因为mn＜0，故当时，双曲线在变换T下一定有2个不动点，否则不存在不动点．
进一步分类可知：
（i）当n＜0，m＞0时，即双曲线的焦点在
轴上时，；
此时双曲线在变换
下一定有2个不动点；
（ii）当n＞0，m＜0时，即双曲线的焦点在y轴上时，．
此时双曲线在变换T下一定有2个不动点．
点评：本题考查解椭圆的应用，椭圆的简单性质，考查分析问题解决问题的能力，转化思想，计算能力，分类讨论思想，是难题，创新题．