Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，线段AC₁上有两个动点E，F，且EF=．给出下列四个结论：
①CE⊥BD；
②三棱锥E-BCF的体积为定值；
③△BEF在底面ABCD内的正投影是面积为定值的三角形；
④在平面ABCD内存在无数条与平面DEA₁平行的直线
其中，正确结论的个数是

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

D
分析：由BD⊥平面ACC₁，知BD⊥CE；
由点C到直线EF的距离是定值，点B到平面CEF的距离也是定值，知三棱锥B-CEF的体积为定值；
线段EF在底面上的正投影是线段GH，故△BEF在底面ABCD内的投影是△BGH，由此能导出△BGH的面积是定值；
设平面ABCD与平面DEA₁的交线为l，则在平面ABCD内与直线l平行的直线有无数条．
解答：解：∵BD⊥平面ACC₁，
∴BD⊥CE，故①正确；
∵点C到直线EF的距离是定值，点B到平面CEF的距离也是定值，
∴三棱锥B-CEF的体积为定值，故②正确；
线段EF在底面上的正投影是线段GH，
∴△BEF在底面ABCD内的投影是△BGH，
∵线段EF的长是定值，
∴线段GH是定值，从而△BGH的面积是定值，故③正确；
设平面ABCD与平面DEA₁的交线为l，则在平面ABCD内与直线l平行的直线有无数条，故④对．
故选D．
点评：本题考查命题的真假判断和应用，解题时要认真审题，仔细解答，要熟练掌握棱柱的结构特征．