Question

已知S_n是正项数列{a_n}的前n项和，且S_n=

1

4

a

2 n

+

1

2

an-

3

4

（1）求数列{a_n}的通项公式；     
（2）若an=2nbn，求数列{b_n}的前n项和；
（3）数列{k_n}满足k_n+1=3k_n-1，k₁=1，当n≥2时证明：

a1

2k2-2

+

a2

2k3-2

+

a3

2k4-2

+…+

an-1

2kn-2

＜

8

3

．

Answer 1

分析：（1）再写一式，两式相减，可得a_n-a_n-1=2，从而可求数列的通项公式；
（2）确定数列的通项，利用错位相减法，可求数列{b_n}的前n项和；
（3）先用数学归纳法证明当n≥3时，3^n-1＞2n，然后用错位相减法计算，可得结论．

解答：（1）解：∵S_n=

1

4

a

2 n

+

1

2

an-

3

4

，Sn-1=

1

4

an-12+

1

2

an-1-

3

4

，
∴an=Sn-Sn-1=

1

4

(an2-an-12)+

1

2

(an-an-1)
∵正项数列{a_n}，∴a_n-a_n-1=2，
∵S₁=

1

4

a

2 1

+

1

2

a1-

3

4

，
∴a₁=3，∴a_n=2n+1；
（2）解：∵an=2nbn，∴b_n=

2n+1

2n

∴Tn=

3

2

+

5

22

+…+

2n+1

2n

①
∴

1

2

Tn=

3

22

+

5

23

+…+

2n+1

2n+1

②
①-②整理可得Tn=5-(2n+5)

1

2n

；
（3）证明：①当n=3时，3^3-1＞2•3；
②设n=k（k≥3）时，3^k-1＞2k，则n=k+1时，3^k=3•3^k-1＞6k＞2（k+1）
∴n=k+1时，结论成立，
∴3^n-1＞2n，即

2n-1

3n-1-1

＜

2n

3n-1

所以

a2

2k3-2

+

a3

2k4-2

+…+

an-1

2kn-2

＜

6

32

+

8

33

+…+

2n

3n-1

令S_n′=

6

32

+

8

33

+…+

2n

3n-1

，则

1

3

Sn′=

6

33

+

8

34

+…+

2n

3n

两式相减可得

2

3

Sn′=

6

32

+

2

33

+…+

2

3n-1

-

2n

3n

=

7

9

-

1

3n-1

∴Sn′=

7

6

-

1

2•3n-2

∴

6

32

+

8

33

+…+

2n

3n-1

＜

7

6

∵

a1

2k2-2

=

3

2

∴

a1

2k2-2

+

a2

2k3-2

+

a3

2k4-2

+…+

an-1

2kn-2

＜

8

3

得证．

点评：本题考查数列的通项与求和，考查数列与不等式的联系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．