Question

已知数列{a_n}中，S_n是它的前n项和，并且S_n+1=4a_n+2（n∈N*），a₁=1
（1）设b_n=a_n+1-2a_n（n∈N*），求证：{b_n}是等比数列，并求出它的通项公式．
（2）设C_n=

an

2n

（n∈N*），求证：{c_n}是等差数列，并求出它的通项公式．

Answer 1

分析：（1）由S_n+1=4a_n+2可得：S_n=4a_n-1+2两式作差得：构造a_n+1-2a_n从而得证；
（2）由（1）知：a_n+1-2a_n=3×2^n-1两边同除以2ⁿ⁺¹构造

an

2n

得证．

解答：解：（1）当n≥2时
由S_n+1=4a_n+2可得：
S_n=4a_n-1+2
两式作差得：
a_n+1=4a_n-4a_n-1
可转化为：
a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）
又a₃-2a₂=2（a₂-2a₁）
∴b_n=a_n+1-2a_n（n∈N*），{b_n}是等比数列
b_n=3×2^n-1
（2）由（1）知：a_n+1-2a_n=3×2^n-1
两边同除以2ⁿ⁺¹得：

an+1

2n+1

-

an

2n

=

3

4

∴{c_n}是等差数列
C_n=

an

2n

=

1

2

+

3

4

(n-1)

点评：本题主要通过通项和前n项和来考查把一般数列通过构造转化为特殊数列的能力．