Question

14．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$和圆O：x²+y²=1，过点A（m，0）（m＞1）作两条互相垂直的直线l₁，l₂，l₁于圆O相切于点P，l₂与椭圆相交于不同的两点M，N．
（1）若m=$\sqrt{2}$，求直线l₁的方程；
（2）求m的取值范围；
（3）求△OMN面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意设出直线l₁的方程，由直线与圆相切的条件、点到直线的距离公式列出方程，可得直线l₁的方程；
（2）由条件对m分类讨论，设直线l₂、直线l₁的方程，分别列出方程求出m和k关系，联立椭圆方程化简后，利用△＞0列出方程化简后，求出m的取值范围；
（3）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由条件对m分类讨论，先求出斜率不存在时△OMN面积，利用韦达定理和弦长公式表示出△OMN面积，化简后利用换元法求出面积的最大值．

解答 解：（1）由题意可知：直线l₁的斜率存在，设为k，
则直线l₁的方程为y=k（x-$\sqrt{2}$），即kx-y-$\sqrt{2}$k=0，
∴圆O：x²+y²=1的圆心O（0，0）到直线l₁的距离
d=$\frac{|-\sqrt{2}k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=1$，化简得k=1或k=-1，
∴直线l₁的方程是$x-y-\sqrt{2}=0$或$x+y-\sqrt{2}=0$；
（2）①当1＜m  $＜\sqrt{2}$时，满足条件；
②当m≥$\sqrt{2}$时，直线l₂的斜率存在，设为k，
则直线l₂的方程为y=k（x-m），即kx-y-km=0，
∵l₁⊥l₂，∴直线l₁的方程为y=$-\frac{1}{k}$（x-m）（k≠0），即x+ky-m=0，
∵l₁于圆O相切于点P，∴$\frac{|-m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=1$，化简得m²=1+k²，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-m）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得，（2k²+1）x²-4mk²x+2k²m²-2=0，
∴△=（-4mk²）²-4（2k²+1）（2m²k²-2）＞0，
化简得，1+k²（2-m²）＞0，
由m²=1+k²得，k²=m²-1，代入上式化简得，
m⁴-3m²+1＜0，解得$\frac{3-\sqrt{5}}{2}＜{m}^{2}＜\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，
又m≥$\sqrt{2}$，则$2≤{m}^{2}＜\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，得$\sqrt{2}≤m＜\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
综上得，m的取值范围是$（1，\frac{\sqrt{5}+1}{2}）$；
（3）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
①当1＜m  $＜\sqrt{2}$时，若直线l₂的斜率不存在，
则直线l₂的方程x=m，不妨设M（m，$\sqrt{\frac{2-{m}^{2}}{2}}$），N（m，$-\sqrt{\frac{2-{m}^{2}}{2}}$），
∴|MN|=$2\sqrt{\frac{2-{m}^{2}}{2}}$，则△OMN面积S=$\frac{1}{2}×m×2\sqrt{\frac{2-{m}^{2}}{2}}$=$\sqrt{\frac{{m}^{2}（2-{m}^{2}）}{2}}$，
由$1＜m＜\sqrt{2}$得1＜m²＜2，
当m²=1 时，△OMN面积S取到最大值$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
②当m≥$\sqrt{2}$时，直线l₂的斜率存在，设为k，
则直线l₂的方程为y=k（x-m），即kx-y-km=0，
∵l₁⊥l₂，∴直线l₁的方程为y=$-\frac{1}{k}$（x-m）（k≠0），即x+ky-m=0，
∵l₁于圆O相切于点P，∴$\frac{|-m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=1$，化简得m²=1+k²，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-m）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得，（2k²+1）x²-4mk²x+2k²m²-2=0，
则x₁+x₂=$\frac{4m{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，1+k²（2-m²）
|MN|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$
=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[{（\frac{4m{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}）}^{2}-4×\frac{2{m}^{2}{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}]}$=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{（1+{k}^{2}）{[1+k}^{2}（2-{m}^{2}）]}}{2{k}^{2}+1}$，
又原点O（0，0）到直线l₂的距离d=$\frac{|-km|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴△OMN面积S=$\frac{1}{2}×\frac{|-km|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}×\frac{2\sqrt{2}\sqrt{（1+{k}^{2}）{[1+k}^{2}（2-{m}^{2}）]}}{2{k}^{2}+1}$
=$\frac{\sqrt{2}\sqrt{{k}^{2}{m}^{2}{（1+2k}^{2}-{k}^{2}{m}^{2}）}}{2{k}^{2}+1}$=$\sqrt{2}\sqrt{\frac{{m}^{2}{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}-（\frac{{m}^{2}{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}）^{2}}$，
设t=$\frac{{m}^{2}{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，则S=$\sqrt{2}\sqrt{-{t}^{2}+t}$，
由$1＜m＜\frac{\sqrt{5}+1}{2}$以及m²=1+k²得，0＜t＜1，
所以当t=$\frac{1}{2}$时，△OMN面积的最大值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
综上得，△OMN面积的最大值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了直线与椭圆位置关系，直线与圆相切的条件、点到直线的距离公式，以及“设而不求”的解题思想方法，考查分类讨论思想，换元法，化简、变形、计算能力．