Question

6．如图，正四棱锥P-ABCD的体积为2，底面积为6，E为侧棱PC的中点，则直线BE与平面PAC所成的角为60⁰．

Answer 1

分析 在正四棱锥中，连接AC，BD，交于O，连接PO，则PO⊥平面ABCD得到∠BEO是直线BE与平面PAC所成的角，根据条件结合三角形的边角关系进行求解即可．

解答 解：在正四棱锥P-ABCD中，连接AC，BD，交于O
连接PO，则PO⊥平面ABCD，
则在正四棱锥中，BO⊥平面PAC，
则连接OE，DE，
则∠BEO是直线BE与平面PAC所成的角，
∵正四棱锥P-ABCD的体积为2，底面积为6，
∴V=$\frac{1}{3}×6$•PO=2，则高PO=1，
∵底面积为6，∴BC=$\sqrt{6}$，OC=OB=$\sqrt{3}$，
则侧棱PB=PC=$\sqrt{1+（\sqrt{3}）^{2}}=\sqrt{4}$=2，
∵E为侧棱PC的中点，∴取OC的中点H，
则EH⊥OC，
则EH=$\frac{1}{2}$PO=$\frac{1}{2}$，OH=$\frac{1}{2}OC$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则OE=$\sqrt{O{H}^{2}+E{H}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=1，
在直角三角形BOE中，tan∠BEO=$\frac{OB}{OE}$=$\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$，
则∠BEO=60°，
故答案为：60⁰

点评 本题主要考查线面角的计算，根据线面角的定义结合正四棱锥的性质得到∠BOE是直线BE与平面PAC所成的角是解决本题的关键．考查学生的计算能力．