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6.如图,正四棱锥P-ABCD的体积为2,底面积为6,E为侧棱PC的中点,则直线BE与平面PAC所成的角为600

分析 在正四棱锥中,连接AC,BD,交于O,连接PO,则PO⊥平面ABCD得到∠BEO是直线BE与平面PAC所成的角,根据条件结合三角形的边角关系进行求解即可.

解答 解:在正四棱锥P-ABCD中,连接AC,BD,交于O
连接PO,则PO⊥平面ABCD,
则在正四棱锥中,BO⊥平面PAC,
则连接OE,DE,
则∠BEO是直线BE与平面PAC所成的角,
∵正四棱锥P-ABCD的体积为2,底面积为6,
∴V=$\frac{1}{3}×6$•PO=2,则高PO=1,
∵底面积为6,∴BC=$\sqrt{6}$,OC=OB=$\sqrt{3}$,
则侧棱PB=PC=$\sqrt{1+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{4}$=2,
∵E为侧棱PC的中点,∴取OC的中点H,
则EH⊥OC,
则EH=$\frac{1}{2}$PO=$\frac{1}{2}$,OH=$\frac{1}{2}OC$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
则OE=$\sqrt{O{H}^{2}+E{H}^{2}}$=$\sqrt{(\frac{1}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}$=1,
在直角三角形BOE中,tan∠BEO=$\frac{OB}{OE}$=$\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$,
则∠BEO=60°,
故答案为:600

点评 本题主要考查线面角的计算,根据线面角的定义结合正四棱锥的性质得到∠BOE是直线BE与平面PAC所成的角是解决本题的关键.考查学生的计算能力.

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